Інтегральне числення. Елементи інтегрального числення (лекція 2)

1. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Лекція 2

2. Елементи інтегрального числення

1.Первісна и невизначений інтеграл
2. Властивості невизначеного інтеграла.
Таблиця невизначених інтегралів.
3.Основні прийоми знаходження
невизначеного інтеграла.
3. Визначений інтеграл.
4. Формула Ньютона-Лейбніца.
5. Властивості визначеного інтеграла.
6.Невласні інтеграли.

3. ЛЕКЦІЯ 2.1 Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення

4. Первісна і невизначений інтеграл

Функція F (x)
називається первісною для функції
f (x) , якщо її похідна або
диференціал задовольняє умову
F ( x) f ( x) ,
або
Визначення.
dF ( x) f ( x)dx .

5. Первісна і невизначений інтеграл

Кожна неперервна функція, що інтегрується, має
нескінченну безліч первісних, що відрізняються на
сталу С:
F ( x) C
F ( x) f ( x)
(1)
Знаходження цих первісних називається
інтегруванням.
Сукупність усіх первісних для функції
називається невизначеним інтегралом:
f ( x)dx F ( x) C ,
(2)

6. Властивості невизначеного інтегралу

Похідна невизначеного інтегралу
дорівнює підінтегральній функції, а його
диференціал - підінтегральному виразу.
Дійсно:
1.( f ( x)dx) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x);
2.d f ( x)dx ( f ( x)dx) dx f ( x)dx.

7. Властивості інтегралу, які витікають із визначення

Невизначений інтеграл від диференціала
непрервно диференціюємої функції
дорівнює самій цій функції
3.
d ( x) ( x)dx ( x) C ,
так як (x )
є первісною для (x).

8. Властивості інтегралу

Сформулюємо далі наступні властивості
невизначеного інтегралу:
4.Якщо функції f1 x і f 2 x мають первісні,
то функція f1 x f 2 x також має первісну,
при цьому:
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

9. Таблиця невизначених інтегралів

1. dx x C .
2.
3.
x n 1
.
x
dx
C
n 1
dx
x ln x C .
n
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

10. Таблиця невизначених інтегралів

11.
12.
13.
dx
1 x
arcsin x C
15.
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C .
2
dx
1
x
arctg
C
a2 x2 a
a
dx
a2 x2
arcsin
x
C
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
14.
16.
dx
x2 a
ln x x 2 a C

11. Методи інтегрування

12. 1. Метод безпосереднього інтегрування

• Приклад. Обчислити x 2 3x 3 x 1 dx
• Рішення. Так як під знаком інтегралу
знаходиться сума чотирьох доданків, то
розкладуємо інтеграл на суму чотирьох
інтегралів:
2 3x3 x 1 dx x 2 dx 3 x3dx xdx dx .
x
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

13. 2. Метод заміни змінної (спосіб підстановки).

Застосовується наступна формула:
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt ,
(4)
де x (t ) - диференційована функція ,
а
t - нова змінна.

14. Приклади

• Приклад 1 . Обчислити :
2x t
d (2 x) dt
1
1
1
cos2 xdx 2dx dt 2 costdt 2 sin t C 2 sin 2 x C
1
dx dt
2

15. Приклади

Приклад 2 . Обчислити :
dx
x 4x 5
Рішення. Преобразімо x 2 4 x 5 ,
2
.
виділяючи повний квадрат по формулі a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тоді отримаємо :
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x
t
2
x 2 2 1 dx dt
x2 4x 5
t 2 1
arctgt C arctg x 2 C.

16. Приклади

Приклад 3 . Обчислити :
1 x
x t, x t 2 ,
1 t
2tdt
2
1 x dx dx 2tdt
1 t
1 t 2 z,
tdt
t2
dz
1 t 2 1
2
2
dt
2
dt
1
2
2
2
z
1 t
1 t
1 t
2tdt dz, tdt dz
2
dt
dt
2
ln z 2 dt 2
ln( t 1) 2 dt 2
2
2
1 t
1 t
ln( t 2 1) 2t 2arctgt C ln( x 1) 2 x 2arctg x C.

17. 3. Метод інтегрування частинами

Цей метод засновано на формулі udv uv vdu (3)
Методом інтегрування частинами беруть такі
інтеграли:
а) x n sin xdx , де n 1,2...k ;
б) x n e x dx , де n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , де n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , де n 0, 1, 2,... k .
При обчисленні інтегралів а) и б) вводять
позначення: x n u , тоді du nx n 1dx , а, наприклад
sin xdx dv ,тоді v cos x .
При обчисленні інтегралів в), г) позначають за u
функцію arctgx , ln x , а за dv беруть x n dx .

18. Приклади

Приклад 1. Обчислити x cos xdx .
Рішення.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

19. Приклади

Приклад 2. Обчислити
dx
u ln x, du
x2
x 2 dx
x
=
ln x
x ln xdx
2
2
2 x
x
dv xdx, v
2
2
2
2
x
1
x
1x
=
ln x xdx
ln x
C .
2
2
2
2 2