ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
Елементи інтегрального числення
ЛЕКЦІЯ 2.1 Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення
Первісна і невизначений інтеграл
Первісна і невизначений інтеграл
Властивості невизначеного інтегралу
Властивості інтегралу, які витікають із визначення
Властивості інтегралу
Таблиця невизначених інтегралів
Таблиця невизначених інтегралів
Методи інтегрування
1. Метод безпосереднього інтегрування
2. Метод заміни змінної (спосіб підстановки).
Приклади
Приклади
Приклади
3. Метод інтегрування частинами
Приклади
Приклади
326.00K
Категория: МатематикаМатематика

Інтегральне числення. Елементи інтегрального числення (лекція 2)

1. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Лекція 2

2. Елементи інтегрального числення

1.Первісна и невизначений інтеграл
2. Властивості невизначеного інтеграла.
Таблиця невизначених інтегралів.
3.Основні прийоми знаходження
невизначеного інтеграла.
3. Визначений інтеграл.
4. Формула Ньютона-Лейбніца.
5. Властивості визначеного інтеграла.
6.Невласні інтеграли.

3. ЛЕКЦІЯ 2.1 Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення

4. Первісна і невизначений інтеграл

Функція F (x)
називається первісною для функції
f (x) , якщо її похідна або
диференціал задовольняє умову
F ( x) f ( x) ,
або
Визначення.
dF ( x) f ( x)dx .

5. Первісна і невизначений інтеграл

Кожна неперервна функція, що інтегрується, має
нескінченну безліч первісних, що відрізняються на
сталу С:
F ( x) C
F ( x) f ( x)
(1)
Знаходження цих первісних називається
інтегруванням.
Сукупність усіх первісних для функції
називається невизначеним інтегралом:
f ( x)dx F ( x) C ,
(2)

6. Властивості невизначеного інтегралу

Похідна невизначеного інтегралу
дорівнює підінтегральній функції, а його
диференціал - підінтегральному виразу.
Дійсно:
1.( f ( x)dx) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x);
2.d f ( x)dx ( f ( x)dx) dx f ( x)dx.

7. Властивості інтегралу, які витікають із визначення

Невизначений інтеграл від диференціала
непрервно диференціюємої функції
дорівнює самій цій функції
3.
d ( x) ( x)dx ( x) C ,
так як (x )
є первісною для (x).

8. Властивості інтегралу

Сформулюємо далі наступні властивості
невизначеного інтегралу:
4.Якщо функції f1 x і f 2 x мають первісні,
то функція f1 x f 2 x також має первісну,
при цьому:
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

9. Таблиця невизначених інтегралів

1. dx x C .
2.
3.
x n 1
.
x
dx
C
n 1
dx
x ln x C .
n
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

10. Таблиця невизначених інтегралів

11.
12.
13.
dx
1 x
arcsin x C
15.
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C .
2
dx
1
x
arctg
C
a2 x2 a
a
dx
a2 x2
arcsin
x
C
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
14.
16.
dx
x2 a
ln x x 2 a C

11. Методи інтегрування

12. 1. Метод безпосереднього інтегрування

• Приклад. Обчислити x 2 3x 3 x 1 dx
• Рішення. Так як під знаком інтегралу
знаходиться сума чотирьох доданків, то
розкладуємо інтеграл на суму чотирьох
інтегралів:
2 3x3 x 1 dx x 2 dx 3 x3dx xdx dx .
x
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

13. 2. Метод заміни змінної (спосіб підстановки).

Застосовується наступна формула:
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt ,
(4)
де x (t ) - диференційована функція ,
а
t - нова змінна.

14. Приклади

• Приклад 1 . Обчислити :
2x t
d (2 x) dt
1
1
1
cos2 xdx 2dx dt 2 costdt 2 sin t C 2 sin 2 x C
1
dx dt
2

15. Приклади

Приклад 2 . Обчислити :
dx
x 4x 5
Рішення. Преобразімо x 2 4 x 5 ,
2
.
виділяючи повний квадрат по формулі a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тоді отримаємо :
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x
t
2
x 2 2 1 dx dt
x2 4x 5
t 2 1
arctgt C arctg x 2 C.

16. Приклади

Приклад 3 . Обчислити :
1 x
x t, x t 2 ,
1 t
2tdt
2
1 x dx dx 2tdt
1 t
1 t 2 z,
tdt
t2
dz
1 t 2 1
2
2
dt
2
dt
1
2
2
2
z
1 t
1 t
1 t
2tdt dz, tdt dz
2
dt
dt
2
ln z 2 dt 2
ln( t 1) 2 dt 2
2
2
1 t
1 t
ln( t 2 1) 2t 2arctgt C ln( x 1) 2 x 2arctg x C.

17. 3. Метод інтегрування частинами

Цей метод засновано на формулі udv uv vdu (3)
Методом інтегрування частинами беруть такі
інтеграли:
а) x n sin xdx , де n 1,2...k ;
б) x n e x dx , де n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , де n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , де n 0, 1, 2,... k .
При обчисленні інтегралів а) и б) вводять
позначення: x n u , тоді du nx n 1dx , а, наприклад
sin xdx dv ,тоді v cos x .
При обчисленні інтегралів в), г) позначають за u
функцію arctgx , ln x , а за dv беруть x n dx .

18. Приклади

Приклад 1. Обчислити x cos xdx .
Рішення.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

19. Приклади

Приклад 2. Обчислити
dx
u ln x, du
x2
x 2 dx
x
=
ln x
x ln xdx
2
2
2 x
x
dv xdx, v
2
2
2
2
x
1
x
1x
=
ln x xdx
ln x
C .
2
2
2
2 2
English     Русский Правила