Теорема Остроградского – Гаусса

1.

§5 Теорема Остроградского – Гаусса
Глава 3
Электричество и магнетизм

2.

Поток вектора напряженности – скалярное
произведение вектора напряженности на вектор
площади
dФ EdS
dS dS n
единичный вектор,
перпендикулярный
поверхности

3.

Рассмотрим точечный заряд. Окружим заряд
сферой радиусом r.

4.

Поток вектора напряженности сквозь поверхность
сферы равен
q
Ô EdS k 3 rndS
r
S
S
kq
2
r
kq
q
2
dS
4
r
2
S
r
0

5.

Таким образом, суммарный поток сквозь
замкнутую поверхность определяется зарядом,
охватываемым замкнутой поверхностью.
Ф
q
0

6.

Если поверхность охватывает множество
зарядов, то согласно принципу суперпозиции:
n
E Ei
i 1

7.

Суммарный
поток
сквозь
замкнутую
поверхность
определяется
зарядами,
охватываемыми замкнутой поверхностью.
n
n
EdS E dS E dS
i
S i 1
S
n
i 1
qi
0
1
0
i 1 S
n
q
i 1
i
i

8.

Теорема Гаусса в интегральной форме:
S
q
EdS
i
0
поток вектора напряженности электрического
поля сквозь замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме зарядов охватываемых
этой поверхностью, делённой на 0.

9.

Поскольку суммарный заряд может быть
найден интегрированием по объему
q dV
i
V
то теорема Гаусса принимает вид:
EdS
S
1
dV
0 V

10.

Пример 1. Определение поля бесконечной нити,
заряженной с линейной плотностью .

11.

В качестве поверхности выберем поверхность
цилиндра.
Поток
через
поверхность,
определяется только потоком через боковую
поверхность:
EdS E 2 rl
S
q
0
i
1
0
l
E
2 0 r

12.

Пример 2. Найти напряженность
концентрических заряженных сфер.
поля
двух
R1 R
R2 2 R
1
2
E (r ) ?

13.

Поле двух концентрических сфер в трех областях.
I . EI = 0
II . E 4 r
2
1
0
R
E
0r 2
2
EII ( R )
0
EII ( 2 R )
4 0
4 R
2

14.

III . E 4 r
2
1
0
( 4 R 4 ( 2 R ) )
2
3 R
E
2
0r
2
3
E III (2 R)
4 0
2

15.

Характер зависимости напряженности поля
0
4 0
3
4 0

16.

Пример 3. Рассмотрим поле двух коаксиальных
цилиндров.
1
2
R1 R
R2 2 R
E (r ) ?

17.

I . EI 0
2 Rh
II . EII 2 rh
0
R
EII
0r
E II ( R)
0
E II (2 R)
2 0

18.

2 Rh ( )2 2 Rh 2 Rh
III . EIII 2 rh
0
0
R
E III
0r
E III (2 R)
2 0