Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения

Линейные однородные и неоднородные
дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами

2.

Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
имеют вид: y py qy Ф(x)
Решение этих уравнений основано на
следующей теории.
Th: Общее решение линейного
неоднородного дифференциального
уравнения выражается суммой его
частного решения и общего
решения соответствующего
линейного однородного уравнения.
y y * Y

3.

Рассмотрим способ нахождения
частного решения неоднородного
уравнения, ограничиваясь
решением таких неоднородных
уравнений второго порядка, у
которых правая часть является
многочленом, т.е. Р(х), или
показательной функцией Аекх.
Для отыскания частного решения
у* будим применять метод
неопределенных коэффициентов,
причем у следует искать в таком
же виде, какой имеет Р(х) или Аекх.

4. I. Подбор частного решения у*, когда правая часть – многочлен.

а) если Р(х) – многочлен и q≠0, то у*
следует искать в виде многочлена такой
же степени
# Р(х) = 2х + 3 или х, то у* : Ах + В
Р(х) = х2 или (x2+1) или (x2 + x — 1), то
у* : Ах2 + Вх + С
При этом коэффициенты многочлена
находятся из системы линейных
алгебраических уравнений, которые
получатся при подстановке в
дифференциальное уравнение
предполагаемого многочлена и его
производных.

5.

#
у" - 2у' - 3у = 2х нач. усл.: у(0) = 0
у'(0) = 1
у* = Ах + В
у*' = А; у*" = 0
-2А — 2Ах — 3В = 2х
A 1
2 A 2
A 1
;
2
2 A 3B 0 3B 2 B
3
2
y* x
3

6.

k2 — 2k — 3 = 0
D = 4 + 12 = 16
2 4
k1
3
2
k2 = -1
Y = C1 e-x + C2 e3x
2
y C1e C2 e x
3
x
3x
y' = -C1e-x + 3C2e3x — 1

7.

2
2
C1 C2
C
C
0
1
3
2
;
3
4
C1 3C2 1 1 4C2 2
3
1
1
C2 3
C2
3
C 2 1 C1 1
1
3 3
y e
x
1 3x
2
e x
3
3

8.

б) q = 0 (при этом
характеристическое уравнение
имеет один нулевой корень), то в
многочлене, для частного решения
у*, вводится множитель х.
Это значит, что вместо А берется
Ах, вместо Ах + В — Ах2 + Вх
вместо
Ах2 + Вх + С — Ах3 + Вх2 + Сх т.

9.

в) если р = 0 и q = 0, то в многочлен у*
вводятся множитель х2.
# y" – 2y' = 24x
k2 – 2k = 0
q=0
k (k – 2) = 0
у* = Ах2 + Вх
k = 0, k = 2
y*' = 2Ах + В
Y = C1 + C2e2x
y*" = 2А
2А — 4Ax — 2В = 24х
4 A 24 A 6 A 6
2 A 2 B 0 A B B 6
у* = -6х2 – 6х
y = -6x2 – 6x + C1 + C2e2x

10. II. Подбор частного решения у* когда правая часть – показательная функция.

а) если в правой части задана
показательная функция aebx, то
частное решение y* следует искать
в виде Aebx.
б) если характеристическое
уравнение, соответствующее
однородному уравнению, имеет
корень x = b, то частное решение
следует искать в виде y* = Axebx.

11.

в) если правая часть – сумма
функций различного вида, то
частное решение составляется в
виде суммы функций
соответствующих каждому
слагаемому.
# x2 + e-x = Ф(х)
y* = Ax2 + Bx + C + Me-x
Каждое слагаемое проще
определяется отдельно!

12.

# y" – 3y' – 4y = 9e2x
k2 – 3k – 4 = 0
D = 9 + 16 + 25
3 5
k1
4
2
k2 = -1
Y = C1e-x + C2e4x
y* = Ae2x
y*' = 2Ae2x
y*" = 4Ae2x

13.

4Ae2x – 6Ae2x – 4Ae2x = 9e2x
-6A = 9
9
1
A 1
6
2
1 2x
x
4x
y 1 e C1e C 2 e
2