Решение заданий 14 (С2) по материалам ЕГЭ профильного уровня (нахождение углов, расстояний, построение сечений)

1.

МБОУ «Ергачинская СОШ»
Решение заданий 14 (С2)
по материалам ЕГЭ
профильного уровня
(нахождение углов,
расстояний, построение сечений)

2.

Соотношения между сторонами и
углами прямоугольного треугольника
Повторение.
C
b
A
α
bc
a
h
c
h bc ac
a2 + b2 = c2
ac
a ac c
a
sin
c
В
b
cos
c
a
tg
b
b bc c

3.

Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла
сумме квадратов двух других сторон
между ними.
минус удвоенное произведение этих сторон
на косинус угла между ними.
2
a
=
2
b
+
2
c
– 2bc cosA
C
b
A
a
c
B

4.

Угол между пересекающимися и
скрещивающимися прямымиА
1.
С
α
D
1800 - α
00 < α
900
В
2.
Угол между скрещивающимися
прямыми АВ и СD определяется
как угол между пересекающимися
М1
прямыми А1В1 и С1D1, при
D1
этом А1В1|| АВ и С1D1|| CD.
В1
А1
α
С1

5.

Угол между плоскостями
C
F
D
A
H
∠ ((АСН); (СНD))
– это двугранный
∠ АСНD, где СНобщее ребро.
Точки А и D лежат
на гранях этого
угла.
AF⊥CH, FD⊥CH.
∠ AFD – линейный угол двугранного ∠ АCHD

6.

Задача № 1
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1,
все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла
между прямыми АВ1 и ВС1.
С1
Решение:
1) Продлим плоскость ВСС1,
В1
тогда ∠(AB1, ВС1) =
∠(AB1, DВ1) = ∠ AВ1D,
т. к. C1В || B1D.
А1
1
А
С
1
В
3) из ∆ABD по теореме
косинусов
DА2 AВ 2 ВD 2 2 AВ DВ cos120
1 1 - 2·1·1·(-0, 5) 3
D

7.

Задача № 1 (продолжение)
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все
рёбра которой равны 1, найдите косинус угла
между прямыми АВ1 и ВС1.
С1
Решение:
А1
В1
4) cos∠AB1D =
1
А
2·AB1·B1D
2+2–3
cos∠AB1D =
2· 2
С
1
AB12 + B1D2 – AD2
В
Ответ: 0,25 .
D
1
=
4

8.

Задача № 2
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между
прямой AC1 и плоскостью ВСC1.
Решение:
1) ВС1- проекция
С1
D1
прямой АС1 на
плоскость(ВCС1),
А1
В1
так как AB⊥(ВCС1)
AB⊥ВС1;
∠(AC1, (ВCС1)) =
∠(AС1,С1В) = ∠ AC1B,
С т.е. ∆АВC1 –
прямоугольный
D
А
В
3) tg∠AC1B =
AB
=
BC1
a
=
1

9.

Задача № 3
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1,
является равнобедренный треугольник АВС, в котором
АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24.
Точка Р принадлежит ребру ВВ1, причем ВР : РВ1 = 1 : 3.
Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР.
Решение:
В1
С1 1) Так как (АВС)∥(А1В1С1), то
∠(( А1В1С1) , (АСР)) =
∠((АВС),(АСР)).
32
2) Т.к. ВН АС (высота р/б ∆),
А1
24 то по теореме о трех
Р
перпендикулярах РН АС.
3) Тогда ∠РНВ – линейный угол
двугранного ∠ РАСВ. Найдем его
В
С из прямоугольного ∆РНВ.
16 4) РВ = ¼ ВВ1 = ¼ · 24 = 6,
20
Н
5) ВН2 = АВ2 – АН2 (из ∆AНВ)
16
ВН2 = 202 – 162 = 144, ВН = 12;
А
6) tg∠РНВ = PB/HB = 6/12 = 0,5.
Ответ: 0,5 .

10.

Задача № 4
В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD, все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямой AB и плоскостью
SAD.
Решение:
1) Так как ABCD – квадрат,
S
то АВ ⊥ AD. Поэтому
проекция AB на плоскость
(SAD) будет ⊥ AD.
Значит, искомый угол –
С двугранный угол при ребре
основания AD.
D
M
O
N
В
А 3) ∠SMO – искомый
угол, косинус которого
найдем из прямоугольного ∆SMO
MO
0,5
1
cos∠SMO =
=
=
SM

11.

Повторение.
Расстояние от точки до прямой
Определение. Расстоянием от точки до
прямой в пространстве называется
длина перпендикуляра, проведённого из
данной точки к данной прямой.

12.

Расстояние от точки до плоскости
Определение. Расстоянием от точки до
плоскости является длина перпендикуляра,
проведённого из данной точки к данной
плоскости.
M
перпендикуляр
N
H
NH – проекция наклонной
на плоскость ɣ
MH < MN
МH – расстояние
ɣ
от М до
a
плоскости ɣ

13.

Расстояние между
скрещивающимися прямыми
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся
прямых называют отрезок с концами на этих прямых,
являющийся перпендикуляром к каждой из них.
A
a
а; b AB
B
b
Определение.
Расстоянием
между
скрещивающимися прямыми называют
длину их общего перпендикуляра.

14.

Способы вычисления расстояния между
скрещивающимися прямыми
1 способ.
а
b
|| a
а1
a; b a;
Расстояние между скрещивающимися прямыми
равно расстоянию от любой точки одной из этих
прямых до плоскости, проходящей через вторую
прямую параллельно первой прямой.

15.

Способы вычисления расстояния между
скрещивающимися прямыми
2 способ.
а
||
a; b ;
b
Расстояние между скрещивающимися прямыми
равно расстоянию между двумя параллельными
плоскостями, содержащими эти прямые.

16.

Способы вычисления расстояния между
скрещивающимися прямыми
3 способ.
b
b1
а
а
А
а А
b b1
a; b A; b1
Расстояние между скрещивающимися прямыми
равно расстоянию между их проекциями на
плоскость, перпендикулярную одной из них.

17.

Задача № 5
В
правильной
шестиугольной
призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны
5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С
Решение:
до прямой A1F1.
1)Так как ABCDEF – правильный
С1
В1
шестиугольник, то
CA⊥AF.
А1 CA⊥A1А по определению
D1
правильной призмы.
E1
F1
CA⊥(АA1F1) по признаку
перпендикулярности прямой
и плоскости, т.е.
11
СА –перпендикуляр к плоскости,
С
В
CA1 - наклонная ,
A1А – проекция наклонной,
1F1 ;
D
А AA1АF ⊥A
1 1 – прямая в плоскости.
E
5
F
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CA1⊥A1F1, значит
длина отрезка CA1 равна искомому расстоянию.

18.

Задача № 5
(продолжение)
В
правильной
шестиугольной
призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны
5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С
до прямой A1F1.
Решение:
С1
В1
1) Доказано, что
CA1 - искомое расстояние.
А1
D1
E1
2) Из ∆ АВС (АВ=ВС=5, В 120 0 )
по теореме косинусов найдём СА:
F1
СА2 СВ 2 ВА 2 2СВ АВ соs В ,
11
С
cos1200 cos 600 0,5 ,
В
D
А
CA =5 3 .
0
3) Из ∆CAA1, А 90 по
теореме Пифагора найдём CA1:
СА1 СА2 АА1
2
E
5
Ответ: 14.
F
2
CA1 2 = 75 + 121 = 196.
CA1 = 14

19.

Задача № 6
Ребро AD пирамиды DABC
перпендикулярно
плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А
до плоскости, проходящей через середины ребер АВ,
АС и АD, если АD = 2 5 , АВ = АС = 10, ВС = 4 5 .
D
L
К
Н
A
N
F
М
Решение:
1) Построим плоскость КМN.
Т. к. КМ – средняя линия ∆АDВ, КМ∥DВ,
MN - средняя линия ∆АВC, МN∥CВ, то
(KMN)∥(BCD) по признаку ∥
плоскостей. АР–медиана и
C высота р/б ∆АВC ,
KF–медиана и высота
р/б ∆KMN.
DP⊥BC по теореме о трёх
Р перпендикулярах. KF ∥ DP.
Искомое расстояние AH
равно половине расстояния
от вершины А до плоскости
B
BCD, т.к. (KMN)∥(BCD) и
KF – средняя линия ∆ ADP.

20.

Задача № 6 (продолжение).
Ребро AD пирамиды DABC
перпендикулярно
плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А
до плоскости, проходящей через середины ребер АВ,
АС и АD, если АD = 2 5 , АВ = АС = 10, ВС = 4 5 .
Решение:
D
К
A
1) Доказано, что
AH - искомое расстояние.
2) ∆LDA и ∆ADP подобны по двум углам,
L
LA:AP=AD:DP, тогда AL=(AP*AD):DP.
C Найдём АР из ∆АВР по теореме
Н
Пифагора (АВ=10, ВР = 2 5 ):
N
AP2 = AB2 – BP2 = 100 – 20 =
= 80; АР= 4 5
Найдём DР из ∆АDР
F
Р по теореме Пифагора:
М
DP2 = AD2 + AP2 =
= 20 + 80 = 100; DP = 10.
B
Тогда AL =(4 5 ·2 5 ):10=4
Итак, АН = ½ AL = 2.
Ответ: 2.

21.

Задача № 7
В правильной шестиугольной призме АВCDEFA1B1C1D1E1F1
все рёбра равны 1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через
точки B, С1 и F.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой C1F.
Решение:
а) 1) ВС1, BF, FЕ1 // С1B , Е1C1 =>
Сечение – четырёхугольник
BC1E1F с диагональю C1F.
4) Так как ∠CBF=90°, то по теореме о трёх перпендикулярах,
BF⟘BC1. Значит, сечение BC1E1F – прямоугольник. Диагональ
прямоугольника C1F2=BF2+BC12; C1F2=3+2=5.

22.

Задача № 7 (продолжение)
В правильной шестиугольной призме
АВCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через
точки B, С1 и F.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой C1F.
Решение.
б) Сечение – прямоугольник BC1E1F.
ВК ⊥C1F, ВК – искомое расстояние
от точки В до прямой C1F.
Найдем ВК как высоту из ∆FBС1,
Используя 2 формулы площади
треугольника.

23.

Задача №8
Основанием прямой четырехугольной призмы АВСDА1В1С1D1
является квадрат ABCD со стороной 3 2 , высота призмы равна
2 7 . Точка K − середина ребра ВВ1. Через точки K и С1
проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является
равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением
призмы плоскостью α. Решение.
а) Для построения сечения призмы
плоскостью α, проведём КЕ||BD1, E € B1D1.
Плоскость α проходит через точки К, С1 и Е.
Так как К – середина ВВ1 и КЕ||BD1, то
Е – середина диагонали А1С1 квадрата
А1В1С1D1. Значит, плоскость α пересекает
грань А1В1С1D1 по диагонали А1С1.
Соединив точки К, С1 и А1, получаем
∆А1КС1- сечение призмы плоскостью α.
∆А1КВ1= ∆С1КВ1 по двум сторонам
и углу между ними (А1В1=С1В1),
0
В1К – общая сторона, А1В1К С1В1К 90 .
Из равенства треугольников следует, что А1К=С1К, значит
∆А1КС1 - равнобедренный.

24.

Задача №8
(продолжение)
Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1
является квадрат ABCD со стороной 3 2 , высота призмы равна
2 7 . Точка K − середина ребра ВВ1. Через точки K и С1
проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является
равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением
призмы плоскостью α. Решение.
б)

25.

Задачи для самостоятельного решения
1) На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
взята точка E так, что A1E : EA = 2:5, на ребре BB1 — точка F
так, что B1F : FB =1: 6, а точка Т — середина ребра B1 C1 .
Известно, что AB = 5, AD = 6 , AA1 =14 .
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1 .
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1 .
2) Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра
которой равны 4.
Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является
прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .
Ответ: б) arctg 2.

26.

Задачи для самостоятельного решения
3) В правильной шестиугольной призме А…F1 все рёбра равны 2.
а) Докажите, что плоскость ВВ1F перпендикулярна прямой В1С1.
б) Найдите расстояние от точки В до плоскости F В1С1.
4) В пирамиде DАВС известны длины ребер АВ=АС=DВ=DС=13,
DА =6, ВС=24.
а) Постройте прямую, перпендикулярную прямым DА и ВС.
б) Найдите расстояние между прямыми DА и ВС.
Ответ: б) 4.

27.

Задачи для самостоятельного решения
5) Высота правильной треугольной пирамиды равна 20, а медиана
её основания равна 6.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её
вершину и перпендикулярной ребру основания.
б) Найдите тангенс угла, который образует боковое ребро с
плоскостью основания.
Ответ: б) 5.
6) В правильной четырёхугольной пирамиде МАВСD с вершиной
М сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 6.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
точку С и середину ребра МА параллельно прямой ВD.
б) Найдите площадь этого сечения.
Ответ: б) 6.

28.

Используемая литература:
1) И. В. Ященко, С.А. Шестаков, А. С.
Трепалин «Подготовка к ЕГЭ по математике
2016,
профильный
уровень»,
Москва,
издательство МЦНМО, 2016.
2) Интернет-ресурсы:
http://www.fipi.ru/
http://mathege.ru/or/ege/Main
https://math-ege.sdamgia.ru/
http://alexlarin.net/
https://ege-ok.ru/
3) Шаблон презентации сайт http://pedsovet.su/ ,
автор Фокина Л. П.