Приложение. Вывод формул туннельного эффекта

1. Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц

11 (2). Приложение.
Вывод формул туннельного эффекта.

2. Рассмотрим одномерное движение частицы в об-ласти, где существует потенциальный барьер: "ступенька" прямоугольной формы.

Рассмотрим одномерное движение частицы в области, где существует потенциальный барьер:
"ступенька" прямоугольной формы. Направим ось
x по направлению движения частицы. На границе
областей 1 и 2 частица либо пройдет через барьер в область 2, либо отразится и будет двигаться
в область 1 в противоположном направлении. Если слева направо движется поток частиц, то часть
из них пройдет через барьер, а часть отразится.
Задача заключается в определении вероятностей
прохождения и отражения
частицы при прохождении
через барьер.

3.

В классической механике если кинетическая энергия частицы больше высоты барьера: T = E > U0,
то частица преодолевает барьер с достоверностью. В квантовой механике это не так: частица может отразиться от барьера с некоторой вероятностью R≠0.
В классической механике при E < U0 переход частицы из области 1 в область 2 невозможен: отражение с достоверностью происходит на границе областей. В квантовой механике имеется вероятностьнайти частицу в области 2.
Докажем это: найдем эти вероятности и соответствующие коэффициенты отражения и прохождения
(прозрачности).

4.

Запишем уравнение Шредингера:
2m
2 E U 0, где
2
x
2
0, x 0
U
U 0 , x 0
Найдем решения отдельно в области 1 и 2, а затем, используя условие непрерывности, согласуем
эти решения (“сошьем”) между собой.
В области 1:
d 2 1 2m
2 E 1 0
2
dx
2
d
2
m
2
В области 2:
2 ( E U 0 ) 2 0
2
dx
(11.1)
(11.2)

5.

Обозначим: k1
1
2mE ;
k2
1
2m( E U 0 ) (11.3)
Тогда записанные уравнения принимают вид:
d 2 1
2
k
1 1 0 ;
2
dx
d 2 2
2
k
2 2 0
2
dx
а их общие решения:
1 a1e
ik1 x
2 a2 e
b1e
ik2 x
(11.4)
ik1 x
b2 e
(11.5)
ik2 x
a1 – амплитуда падающей волны, в области 1,
b1 – амплитуда отраженной волны, в области 1,
a2 – амплитуда прошедшей волны, в области 2,
b2 – амплитуда отраженной волны, в области 2.

6.

В рассматриваемой задаче частицы, прошедшие в
область 2, при движении в этой области никаких
препятствий не встречают, поэтому отраженного
потока в этой области быть не должно, значит
амплитуда отраженной волны в области 2
должна равняться нулю: b2 = 0.
Амплитуды b1 и a2 найдем из условий непрерывности при x = 0:
1 x 0 2
d 1
dx
x 0
d 2
dx
x 0
a1 b1 a2
a1ik1 b1ik1 a2ik2
x 0
k2
a1 b1 a2
k1
(11.6)

7.

Решая относительно b1 и a2 находим:
2k1
k1 k2
a2
a1 ; b1
a1 . (11.7)
k1 k2
k1 k2
Отсюда коэффициент отражения:
U
0
2
b1 k1 k2 1 1 E
R 2
a1 k1 k2
U0
1 1
E
2
2
(11.8)

8.

Для определения коэффициента прохождения (прозрачности) учтем различные скорости частицы в
областях 1 и 2:
a22v2
D 2 ; v1 p1 / m k1 ; v2 p2 / m k2 .
a1 v1
Здесь a12 v1 и a22 v2 - плотности потоков частиц в областях 1 и 2. Поэтому коэффициент прозрачности:
2
4 1
U0
a k2 2k1 k2
4k1k2
E
D
2
a k1 k1 k2 k1 k1 k2 2
U0
1 1 E
2
2
2
1
(11.9)

9. Очевидно, D+R=1, т.е. частица либо отражается, ли-бо преодолевает барьер, как и должно быть.

Очевидно, D+R=1, т.е. частица либо отражается, либо преодолевает барьер, как и должно быть.
В классической механике при E > U0 частица преодолевает барьер с достоверностью. В квантовой механике это не так: частица может отразиться от
барьера и в этом случае (с некоторой вероятностью R ≠ 0). В классической механике при E < U0 переход частицы из области 1 в область 2 невозможен: отражение с достоверностью происходит на
границе областей. В квантовой механике имеется
вероятность найти частицу в области 2.
Действительно, в этом случае
1
i
k2
2m E U 0
2m U 0 E ik ,
2 a2eik2 x a2e kx ,

10.

Отсюда вероятность найти частицу в области 2
равна:
2
2 m U 0 E x
2
2 2 kx
2
(11.10)
2 a2 e
a2 e
.
В то же время коэффициент отражения при E < U0
равен:
2
k1 ik
k1 ik k1 ik
*
R
RR
1
k1 ik
k1 ik k1 ik
Это означает, что отражение является полным, но
не обязательно происходит на самой границе
областей: некоторые частицы заходят в область
2, а затем возвращаются в область 1.

11.

Рассмотрим теперь прохождение частиц через прямоугольный потенциальный
барьер конечной ширины d:
0,
U U 0 ,
0,
x 0
0 x d
x d
Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что
отражение происходит на двух границах: 1-2 и 2-3.
Поэтому:
ik x
ik x
1 a 1 e
1
2 a 2 e
3 a 3 e
b1e
ik2 x
ik1 x
b2 e
1
ik2 x

12.

Очевидно, что амплитуды прошедших и отраженных
волн будут пропорциональны амплитуде падающей волны a1, поэтому для упрощения вычислений
положим a1 = 1. Как и в предыдущей задаче, амплитуды b1, a2, b2, a3 найдем из условий непрерывности и d /dx на границах x = 0 и x = d. Условия
непрерывности на границах x = 0 и x = d дают:
(11.11)
1 b1 a2 b2
ik2d
ik2d
ik1d
(11.12)
a2e b2e
a3e
Из условий непрерывности d /dx на границах x = 0 и
x = d получаем:
ik1a1 ik1b1 ik2a2 ik2b2
(11.13)
ik2d
ik2 d
ik1d
(11.14)
ik a e ik b e
ik a e
2 2
2 2
1 3

13.

Мы получили систему из 4-х уравнений относительно 4-х неизвестных b1, a2, b2, a3. Решить ее можно
различными способами. Нам наиболее интересен
квадрат модуля отношения a3 (амплитуда прошедшей волны) к амплитуде падающей волны a1 в
случае, когда высота барьера больше, чем энергия частиц. Это отношение называется коэффициентом прозрачности барьера: D = a3/a1 2. Т.к. a1 = 1,
нам достаточно найти a3. Умножим уравнение
(11.12) на ik2, прибавим левую и правую части получившегося уравнения соответственно к левой и
правой частям уравнения (11.14) (члены с амплитудой b2 при этом взаимно уничтожатся), и выразим a3 через a2:
2k
a3
2
k1 k2
e 2
i k k1 d
a2
(11.15)

14.

Далее, умножим уравнение (11.11) на ik1, и, складывая левую и правую части получившегося уравнения соответственно с левой и правой частями
уравнения (11.13) (члены с амплитудой b1 при этом
взаимно уничтожаются), получим соотношение
между a2 и b2:
2k k k a k k b
1
1
2
2
1
2
2
Второе соотношение между a2 и b2 получим, умножив
уравнение (11.12) на ik1, и вычитая из него уравнение (11.14):
ik2d
ik2d
k2 k1 e
a2 k1 k2 e
b2
Исключая из этих двух последних формул амплитуду
b2, получаем формулу для a2:
2k1 (k1 k2 )e ik2d
a2
2 ik d
2 ik d
2
k1 k2 e k1 k2 e 2

15.

Подставляя эту формулу в (11.15), получаем:
a3
k1 k2
4k1k2e
2
e
ik2d
ik1d
k1 k2 e
2
ik2d
(11.16)
При E<U0 обозначим, как и раньше,
k2
1
2m E U 0
i
2m U 0 E ik
(11.17)
Подставив (11.17) в (11.16), получаем:
a3
k1 ik
4ik1ke ik1d
2
e k1 ik e
kd
2
kd
(11.18)
Как видно из этой формулы, амплитуда a3 является
комплексным числом.

16.

Коэффициент прозрачности барьера равен квадрату модуля амплитуды a3. Квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа
на комплексно-сопряженное число:
a
*
3
k1 ik
4ik1keik1d
2
e k1 ik e
2
kd
kd
Перемножая a3 и a3*, после ряда простых преобразований получаем:
D a3 a
*
3
где
k k
2
1
2 2
2 2
1
4k k
sh 2 (kd ) 4k12k 2ch 2 (kd )
ekd e kd
sh(kd )
2
ekd e kd
ch(kd )
2
- гиперболические синус и косинус.
(11.19)

17.

Учитывая, что ch2x - sh2x = 1, формулу (11.19) можно
немного упростить:
D
k
2
1
k
2 2
4k12k 2
sh (kd ) 4k k
2
2 2
1
(11.20)
Теперь учтем, что во многих практически интересных
случаях величина kd >> 1. Тогда sh 2kd e2 kd / 4 и
формула (11.20) принимает вид:
D
4
2
1 k1 k 2 kd
e 4
4 k k1
(11.21)

18.

Очевидно, что в этом случае числом 4 по сравнению
с e2kd в знаменателе можно пренебречь, и формула для D существенно упрощается:
D
4
k 2k12
16
2 kd
e
2
2
2
k
k
1 k1 k
2 kd
1
e
4 k k1
Подставляя вместо k1 и k их значения по формулам
(11.3) и (11.17), получаем окончательную формулу
для коэффициента прозрачности прямоугольного
барьера:
2
16 E
E
D
1 e
U0 U0
2
2 m (U 0 E )d
(11.22)