Сложные события

1. Курс высшей математики

Часть 4
http://umc.ustu.ru
УГТУ-УПИ
2005г.

2.

Лекция 6
Сложные события.
1. Независимые события .
2. Формула полной вероятности.
3. Формула Байеса .
4. Повторение независимых испытаний.
Формула Бернулли.

3.

1. Независимые события .
События А и В называются независимыми, если
вероятность наступления одного из них не зависит
от наступления другого, то есть
P( A / B) P( A), P( B / A) P( B)

4.

По формуле умножения вероятностей
P ( AB) P ( A) P ( B / A) P ( B ) P ( A / B )
Следовательно, для независимых событий получаем
P( AB) P( A) P( B)
- вероятность совмещения двух независимых событий
равна произведению вероятностей этих событий.

5.

Вероятность совмещения нескольких независимых
событий
A1, A2, …, An равна произведению
вероятностей этих событий:
P(A1 A2 …An )=P(A1)P(A2)…P(An).
В практических задачах для определения зависимых и
независимых событий применяют гипотезу о физической
независимости событий:
- независимыми считаются события, не связанные
причинно.

6. Пример.

Три стрелка:
p1 0,7 , p2 0,8 , p3 0,9
-вероятность поражения цели при одном выстреле
каждым стрелком.
Все стреляют по одному разу.
A
{Хотя бы одно попадание}.
P ( A) ?
Решение.
A {нет ни одного попадания}.
Ai {i-ый стрелок не попал}.
A A1 A2 A3

7.

A , A , A - события независимые.
1
2
3
P ( A ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
P ( A1 ) 1 P ( A1 ) 1 p1 0,3;
P ( A2 ) 1 P ( A2 ) 1 p2 0,2;
P ( A3 ) 1 P ( A3 ) 1 p3 0,1;
0,3 0,2 0,1 0,006;
P ( A) 1 P ( A ) 0,994;

8.

2. Формула полной вероятности.
Пусть - множество всех элементарных исходов,
H1, H2, … ,Hn – наблюдаемые события.
Эти события Hi образуют полную группу событий
( разбиение множества ) данного опыта, если
1. H i H j , i j (попарно не совместны)
2. H1 H 2 H 3 ... H n
События Hi полной группы, называются гипотезами.

9.

Пример.
H2
H1
H3
{H1 , H 2 , H 3} полная группа событий,
H1 , H 2 , H 3 гипотезы.

10.

Т Если
причём
{ H1 , H 2 ,..., H n }полная группа событий,
P( H i ) 0 ,
то для любого наблюдаемого события А справедлива
формула (формула полной вероятности) :
n
P ( A) P ( H i ) P ( A / H i )
i 1

11.

Доказательство.
A A ;
H1
A
H2
H3
n
n
i 1
i 1
A A Hi A Hi ;
H i H j AH i AH j
n
A H
i 1
i
сумма несовместных событий !

12.

Вероятность суммы несовместных событий равна
сумме вероятностей:
P A H i P A H i P( H i ) P( A / H i ) ;
i 1
i 1
i 1
n
n
n
Пример.
В ящике М шаров, из них m – белых, остальные –
чёрные.
Извлекается один шар и откладывается.
Затем извлекается второй шар.
А = { второй шар - белый}.
P ( A) ?

13.

Решение.
H1 H 2 ;
H1 { 1й шар - белый}.
H 2 { 1й шар - чёрный}.
m
P( H1 )
;
M
M m
P( H 2 )
;
M
P ( H1 ) P ( H 2 ) 1
m 1
P( A / H1 )
;
M 1
m
P( A / H 2 )
;
M 1

14.

P( A) P( H1 ) P( A / H1 ) P( H 2 ) P( A / H 2 )
m m 1 M m m m ;
M
M M 1
M M 1
3. Формула Байеса .

15.

Пусть проводится некоторый опыт, об условиях
проведения которого можно высказать n возможных
и несовместных гипотез, имеющих вероятности
P(H1), P(H2), …, P(Hn)
Пусть в результате опыта также может произойти
событие А, причём вероятность того, что оно
произойдёт при реализации гипотезы Hi равна
P(A/Hi).

16.

Как изменятся вероятности гипотез, если стало
известно, что событие А произошло ?
Иначе говоря, спрашивается, чему равны
вероятности
P(Hi /A) .

17.

Т
Формула Байеса.
Если до опыта вероятности гипотез были
P(H1), P(H2), … , P(Hn)
и в результате опыта произошло событие А,
то, с учётом этого события, “новые”, то есть
условные вероятности гипотез, вычисляются
по формуле Байеса:
P( H k ) P( A / H k )
P ( H k / A)
P ( A)

18.

В этой формуле в знаменателе стоит полная вероятность
события А:
n
P ( A) P ( H i ) P ( A / H i )
i 1

19.

Доказательство.
P ( AH k ) P ( H k ) P ( A / H k ) P ( A) P ( H k / A)
P( H k )P( A / H k )
P ( H k / A)
P ( A)

20.

Пример.
Имеются 1000 изделий, из которых 200 изготовлены
на 1-м заводе, 460 на втором и 340 на третьем.
Вероятность изготовления нестандартного изделия на
первом заводе 0,03 ,на втором – 0,02 ,на третьем – 0,01
Случайно взятое изделие оказалось нестандартным.
Какова вероятность того, что оно сделано на 1 заводе.

21.

Решение.
А= {взятое изделие оказалось нестандартным}.
H1
{оно сделано на 1-м заводе}.
200
P( H1 )
0,2;
1000
H 2 {оно слелано на 2-м заводе}. P(H ) 460 0,46;
2
H3 {оно сделано на 3 м заводе}
1000
340
P( H 3 )
0,34;
1000

22.

P( H1 ) P( A / H1 )
P ( H 1 / A)
P ( A)
P( A) P( H1 ) P( A / H1 ) P( H 2 ) P( A / H 2 ) P( H 3 ) P( A / H 3 );
P( A / H1 ) 0,03
P( A / H 2 ) 0,02 P( A / H 3 ) 0,01
0,2 0,03
P( H1 / A)
0,322
0,2 0,03 0,46 0,02 0,34 0,01
(было P( H1 ) 0,2)

23.

4. Повторение независимых испытаний.
Формула Бернулли.
Пусть вероятность наступления события А при одном
испытании равна P(A) = p.
(Соответственно, вероятность не наступления события
А будет q = 1-p ).
Опыт повторяется n- раз.
Какова вероятность того, что событие А произойдёт
m- раз при n- испытаниях?
(Эту вероятность обозначают как Pn(m) ).

24.

Теорема.
Вероятность того, что при n- независимых испытаниях
событие А произойдёт m- раз определяется формулой
(формула Бернулли):
m n m
P( B) Pn (m) C p q
m
n

25.

Доказательство.
Наступления (А) и не наступления ( A ) события А в
серии из n- испытаний могут чередоваться различным
образом.
Например, A A A A - в четырёх испытаниях
событие А наступило в первом и четвёртом испытании.

26.

Всякую комбинацию из n- испытаний, в которую
событие А входит m- раз,а событие A входит,
следовательно, (n-m) раз, назовём благоприятной.
Найдём вероятности таких благоприятных
комбинаций :

27.

Например, B1 AAA... A A A... A A - событие А произошло
m
m
n
в первых m- испытаниях.
n
Эта комбинация соответствует событию
В={Cобытие А произошло в m испытаниях}.
Возможна другая комбинация для события В:
B2
AAA
A
AA
...
AA
...
m 1
n m
n
- событие А произошло в
первых (m-1) испытаниях
и в последнем.

28.

Общее количество исходов N,образующих множество
В, равно числу cпособов выбрать m чисел из n, т.е.
равно числу cочетаний из n по m :
N C
m
n

29.

Таким образом,
B В1 B2 ... BN ,
N C
m
n
Вычислим вероятность события В.
P( B) P( B1 B2 ... BN ) P( B1 ) P( B2 ) ... P( BN )
Cnm
Вычислим вероятность одной комбинации (например В1):
m
n m
P( В1 ) P(
AAA
...
A
A
A
...
A
A
)
P ( A) P ( A )
m
m
m
n m
n
p
q
;
n

30.

Таким образом,
m n m
P( B) C p q
m
n
;
Окончательно,
P ( B ) Pn ( m ) C nm p m q n m
-Формула Бернулли для вычисления вероятности
события:
в последовательности из n испытаний m раз
произошло событие А.

31.

Обозначим n - число появления события А в п
независимых испытаниях.
Pn ( m1 n m2 ) ?
An (m ) Событие А произошло т раз в п испытаниях
{m1 n m2 } An (m1 ) An (m1 1) ... An (m2 )
Pn ( m1 n m2 )
m2
C
m m1
m
n
m
p q
n m
- вероятность того, что в п испытаниях событие А
произошло от т1 до т2 раз.

32.

Пример.
Что вероятнее: выиграть у равного по силам партнера
игру из 4х или из 8 партий?
Решение.
Обозначим
4 количество выигрышей в игре из 4х партий
8 количество выигрышей в игре из 8 партий

33.

4
4
5
1
4 1
P(3 4 4) С С4 0,3125
2
2 16
3
4
8
8
8
8
93
1
6 1
7 1
8 1
P(5 8 8) С С8 С8 С8 0,3633
2
2
2
2 256
5
8
P (5 8 8) P (3 4 4)

34.

Определение.
Величина т0 называется наивероятнейшим числом
появления события А в п независимых испытаниях,
если вероятность Pn(m) достигает наибольшего
значения при т = т0 .
Pn (m0 1) Pn (m0 ) Pn (m0 1)
p(n 1) 1 m0 p(n 1)

35.

Длина отрезка
[ p(n 1) 1, p(n 1)] равна 1
Вывод:
Наивероятнейших чисел не может быть больше двух.
Два будет в случае попадания концов отрезка на целые
числа. В этом случае имеем два наивероятнейших числа:
m0 = p(n+1) – 1 и
m0 = p(n+1) .

36.

Пример.
Игра из 4х партий.
m0 ?
Решение.
1
1
4 1 1 m0 4 1 ;
2
2
m0 2
1,5 m0 2,5

37.

Пример.
Игра из 3х партий.
Решение.
1
1
3 1 1 m0 3 1 ;
2
2
1 m0 2
m0 1 или 2 с равной вероятностью.