Решение линейных алгебраических уравнений. Часть 2

1.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
(часть 2)

2.

План
Погрешность прямых
методов
Устойчивость по
входным данным
Итерационные методы
– Приведение СЛАУ к
итерационному виду
– Метод простой
итерации
– Метод Зейделя
– Метод релаксации

3.

Погрешность прямых
методов решения СЛАУ
Источники ошибок:
ограниченность разрядной сетки
ЭВМ;
погрешность представления
исходных данных (коэффициентов
системы A и (или) вектора правой
части F).

4.

Уточнение корней
Обозначим прибл. решение системы
(1) через xi (i=1,2,…,n). Подставим
это решение в исходную систему:
Ax = f.
невязка
Вычтем эти системы:
A(x – x )= f - f.
Обозначим через y = x – x, ε = f – f

5.

Уточнение корней
Получим новую систему:
Ay=ε.
Решая ее, находим прибл. корни y.
Это решение используется для
уточнения x:
x = x + y.
Этот процесс можно повторять.

6.

Устойчивость по
входным данным
Фактически вместо исходной системы
при наличии погрешности исходных
данных решается не система (1),
а «возмущенная система (2):
AX f
(1)
AX f
*
*
*
(2)

7.

Устойчивость по
входным данным
Необходимо оценить, как связаны
погрешность решения X=X*-X с
абсолютными погрешностями
коэффициентов матрицы A=A*-A
и свободных членов f=f*-f.
Это т.н. коэффициентная
устойчивость и устойчивость по
правой части.

8.

Устойчивость по
входным данным
Для оценки погрешности и
устойчивости системы обратимся к
основным характеристикам СЛАУ,
известным из курса алгебры.
Напомним некоторые определения.

9.

Определение 1. Норма
вектора
Нормой вектора X называется
неотрицательное число ||X|| такое, что
1. X 0 при X 0, 0 0;
2. с X c X , c R;
3. X Y X Y .

10.

Определение 2. Норма
матрицы
Нормой матрицы A называется
неотрицательное число ||A|| такое, что
1. A 0 при A 0, 0 0;
2. с A c A , c R;
3. A B A B ;
4. A B A B .

11.

Виды норм
вектора:
X I max xi
i 1, n
матрицы:
кубическая
n
A I max aij
i 1, n
j 1
n
n
X II xi
октаэдрическая
A II max aij
j 1, n
i 1
X III
n
xi
i 1
2
сферическая
A III
i 1
n
n
a
i 1 j 1
ij
2

12.

Упражнение. Найдите
нормы вектора
3
2
X
1
1