Понятие о дифференциальном уравнении. Метод Эйлера

1. Понятие о дифференциальном уравнении. Метод Эйлера

Дисциплина
«Численные методы»

2. Дифференциальное уравнение-

Дифференциальное уравнениеЭто уравнение, в котором неизвестная
функция входит под знаком производной
или дифференциала.
Например:
dy
d y
z z
2( y 3);
t 1;
2 0;
2
2
dx
dt
x
y
2
2
2

3. Порядок дифференциального уравнения-

Порядок дифференциального
уравненияЭто наивысший порядок производной
(или дифференциала), входящей в
уравнение .
Например: уравнения
2
2
2
d
s
z
z
2-го порядка,
t 1;
1
x 2
dt 2
dy 2
( x y )dx ( x y )dy 0 1-ого порядка.
2
2
2
2

4. Обыкновенное дифференциальное уравнение

Это дифференциальное уравнение, в
котором неизвестная функция, входящая
в уравнение, зависит только от одной
независимой переменой. Например:
2
d y
x 2 2; 2 s dt t ds.
dx
2

5. Параметры дифференциального уравнения

Обыкновенное дифференциальное
уравнение n-го порядка в самом общем
случае содержит независимую переменную
x , неизвестную функцию y и ее
производные или дифференциалы до n-го
порядка включительно и имеет вид
F ( x, y, y' , y' ' ,..., y ) 0
(n)

6. Решение дифференциального уравнения-

Решение дифференциального
уравненияЭто всякая дифференцируемая функция
y (x), удовлетворяющая этому
уравнению, т.е. такая, после подстановки
которой в уравнение y ( n) f ( x, y, y' , y' ' ,..., y ( n 1) )
оно обращается в тождество.

7. Задача Коши-

Задача КошиНайти решение y (x) уравнения
y ( n ) f ( x, y, y' , y' ' ,..., y ( n 1) ),
удовлетворяющее
дополнительным условиям, состоящим в том, что
решение должно принимать вместе со своими
производными до (n-1)-го порядка заданные числовые
( n 1)
значения y0 , y0 , y0 ,..., y0
при заданном числовом
значении независимой переменной x:
( n 1)
( n 1)
y y0 , y ' y0 , y ' ' y0 ,..., y
y0
при
x x0 .

8. Решение дифференциальных уравнений численными методами

Методы приближенного решения
дифференциальных уравнений
Аналитические методы
Численные методы
дают приближенное
решение
дифференциального
уравнения в виде
аналитического выражения
дают приближенное
решение
дифференциального
уравнения в виде
таблицы

9. Решить дифференциальное уравнение численным методом -

Решить дифференциальное
уравнение численным методом это значит для
заданной
последовательности аргументов
x0,x1,…,xn и числа y0 , не
определяя функцию y=F(x) ,
найти такие значения y1,…,yn,
что yi=F(xi) и F(x0)=y0.

10. Методы численного решения дифференциальных уравнений

Метод Эйлера
Модификации метода Эйлера
Метод Рунге-Кутта
Метод Адамса

11. Метод Эйлера

12. Леонард Эйлер (1707-1783)-

Леонард Эйлер (1707-1783)математик, механик, физик и
астроном, ученый необычайной
широты интересов и творческой
продуктивности. Автор свыше 800
работ по математическому
анализу, теории чисел, небесной
механике, математической
физике, оптике, балластике,
кораблестроению, теории музыки
и др.

13.

14. Постановка задачи

Пусть дано обыкновенное
дифференциальное уравнение первого
порядка y`=f(x,y) с начальным условием
x=x0 , y(x0)=y0 . Требуется найти решение
уравнения y`=f(x,y) на отрезке [a,b].

15. Все вычисления по методу Эйлера удобно располагать в таблице

i
Xi
Yi
Y`i=f(Xi,Yi)
h*Y`i
0
X0
Y0
Y`0=f(X0,Y0)
h*Y`0
1
X1=X0+h
Y1=Y0+h*Y`0
Y`1=f(X1,Y1)
h*Y`1
2
X2=X1+h
Y2=Y1+h*Y`1
Y`2=f(X2,Y2)
h*Y`2
…
…
…
…
…
n
Xn=Xn-1+h Yn=Yn-1+h*Y`n-1

16. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера

Проинтегрировать методом Эйлера
дифференциальное уравнение y`=y-x с
начальным условием y(0)=1,5 на
отрезке[0;1,5], приняв h=0,25. Вычисления
вести с четырьмя знаками после запятой.

17. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера

Проинтегрировать методом Эйлера
дифференциальное уравнение
y`=x+cos(y/3) с начальным условием
y(1,6)=4,6 на отрезке[1,6;2,6], приняв
h=0,2. Вычисления вести с четырьмя
знаками после запятой.

18. Домашнее задание

Работа с конспектом
Решить задачу: Проинтегрировать
методом Эйлера дифференциальное
уравнение y`=2(x+y) с начальным
условием y(0)=0 на отрезке[1;2], приняв
h=0,2. Вычисления вести с четырьмя
знаками после запятой