Системы линейных алгебраических уравнений

1.

Системы линейных
алгебраических уравнений
(СЛАУ)

2.

Система m линейных алгебраических уравнений c
n неизвестными имеет вид:
а11х1 + а12х2 + .....+ а1nхn = в1
а21х1 + а22х2 + ….+ а2nхn = в2
………………………………
аm1х1 + аm2х2 + ….+ аmnхn = вm
аij – коэффициенты, хj - неизвестные, bi свободные члены уравнений.

3.

Опр. Решить систему означает найти все совокупности
значений неизвестных (х1, х2,....хn), удовлетворяющих
системе или показать, что система не имеет решений.
1.Если система не имеет решений, то она называется
несовместимой.
2. Если она имеет единственное решение –
определенной.
3. Если она имеет бесконечно много решений –
неопределенной.
Опр: Если хотя бы одно из чисел bi, отлично от нуля,
система называется неоднородной. Если все свободные
члены равны нулю, то система называется однородной.

4.

Опр: Матрица составленная из коэффициентов
системы называется основной матрицей, если к
основной матрице приписать справа столбец
свободных членов, то получится расширенная
матрица системы.

5. Метод Крамера

6.

По формулам Крамера решаются только
неоднородные системы.
а11х1 а12 х2 а13 х3 в1
а21х1 а22 х2 а23 х3 в2
а х а х а х в
32 2
33 3
3
31 1

7.

Опр: Определитель Δ основной матрицы
называется
главным
(основным)
определителем.
Δ=
а11 а12
а21 а22
а13
а23
а31 а32
а33

8.

Опр: Дополнительным определителем
называется определитель полученный из
главного определителя путем замены j-го
столбца столбцом свободных членов.
.
Δ 1=
в1
в2
а12
а22
а13
а23
в3
а32
а33
Δ3=
Δ 2=
а11 а12 в1
а21 а22 в2
а31 а32
в3
а11 в1
а21 в2
а13
а23
а31 в3
а33

9.

Теорема: Если определитель системы Δ не
равен 0, то система имеет единственное
решение, которое находится по формулам:
Х1 = Δ1/ Δ;
х2== Δ2/ Δ;
х3== Δ3/ Δ

10.

Теорема: Если определитель системы Δ=0, и
хотя бы один из определителей ∆1, ∆2, ∆3
отличен от нуля, то система несовместна(т.е.
не имеет решений).

11.

Теорема:Если определитель системы ∆=0, и
∆1=∆2=∆3=0, то система имеет бесконечное
множество решений. (неопределенная
система).

12. Матричный метод решения СЛАУ

13.

Системе
3х
линейных
уравнений
соответствует матричное уравнение
АХ=В
А=
а11
а21
а31
а
а
а
12
22
32
23
33
а
а
а
13
х1
х
Х = 2
х
3
АХ=В
А-1АХ= А-1В
ЕХ = А-1В
Х = А-1В
в1
в2
В=
в3

14. Метод не работает, если число уравнений не равно числу неизвестных, или когда матрица системы хотя и квадратна, но вырождена (тогда не сущес

Метод не работает, если число уравнений не равно
числу неизвестных, или когда матрица системы хотя
и квадратна, но вырождена (тогда не существует
обратной матрицы, т.е определитель основной
матрицы равен нулю).