СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система n линейных уравнений с n переменными имеет вид
Теорема. (теорема Кронекера - Капелли)
Пример. Решить систему уравнений
Метод Гаусса
Теорема. Элементарные преобразования расширенной матрицы данной системы, выполненные лишь над её строками, превращают эту
Пример. Решить систему
Метод Крамера
Пример. Решить систему
Теорема
Найдем ранг матрицы системы
Составим систему однородных уравнений эквивалентную данной
1.37M
Категория: МатематикаМатематика

Системы линейных уравнений

1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 2
1

2. Система n линейных уравнений с n переменными имеет вид

а11х1 а12 х2 ... а1n хn b1
а21х1 а22 х2 ... а2 n хn b2
...........................................
а х а х ... а х b
nn n
n
n2 2
n1 1
(1.1)
где x1, x2, …, xn переменные,
aij числовые коэффициенты
ЛЕКЦИЯ 2
2

3.

Пусть дана система линейных
уравнений
а11х1 а12 х2 ... а1n хn b1
а х а х ... а х b
21 1
22 2
2n n
2
...........................................
аm1 х1 аm 2 х2 ... аmn хn bm
(1.2)
Краткая запись:
а x
n
j 1
ij
j
bi , i 1,2,...m,
ЛЕКЦИЯ 2
j 1,2,...n
3

4.

Коэффициенты при неизвестных составляют
прямоугольную таблицу
а11 а12
а 21 а 22
А
...... ....
а
m1 а m 2
а1n
... а 2 n
..... .....
... а mn
...
называемую матрицей
системы.
Первый индекс у коэффициента aij означает номер
уравнения, второй – номер неизвестного, при котором стоит
этот коэффициент.
ЛЕКЦИЯ 2
4

5.

Коэффициенты b1 ,b2 , …, bm называются
свободными членами уравнений системы.
Если свободные члены равны нулю, то система
называется однородной,
а11 х1 а12 х 2 ... а1n х n 0
а х а х ... а х 0
21 1
22 2
2n n
...........................................
а m1 х1 а m 2 х 2 ... а mn х n 0
в противном случае – неоднородной.
ЛЕКЦИЯ 2
5

6.

Матрицу
а11
а 21
В
...
a
m1
а12
... а1n
a 22
... a 2 n
...
...
am2
...
... a mn
b1
b2
...
bm
называют расширенной матрицей системы (1.2)
ЛЕКЦИЯ 2
6

7.

Решение системы (1.1), (1,2)- это упорядоченный
набор (х1,х2, ..., хп) из п чисел, при подстановке
которых в уравнения системы вместо
соответствующих неизвестных каждое уравнение
системы превращается в тождество.
Система, не имеющая ни одного решения, называется
несовместной или противоречивой. Система, имеющая
хотя бы одно решение, называется совместной.
Совместные системы подразделяют на определенные, обладающие
единственным решением, и неопределенные, обладающие
множеством решений.
Однородная система всегда совместна, так как имеет, по крайней
мере, нулевое решение
ЛЕКЦИЯ 2
7

8.

Если ввести матрицу коэффициентов
Матрицу переменных
х1
х2
Х
...
хп
и матрицу свободных членов
а11 а12
а 21 а 22
А
...... ....
а
m1 а m 2
а1n
... а 2 n
..... .....
... а mn
...
b1
b2
В
...
bп
То система линейных уравнений может быть записана
в матричной форме
А∙Х=В
ЛЕКЦИЯ 2
8

9.

Методы решения систем линейных уравнений
1.Метод Гаусса.
Метод заключается в последовательном
исключении переменных путем некоторых
элементарных преобразований, в результате чего
система приводится к ступенчатому виду с
нулями ниже главной диагонали. Переменные
находятся, начиная с последних по номеру
переменных.
ЛЕКЦИЯ 2
9

10.

Методы решения систем линейных уравнений
2. Метод Гаусса-Жордана.
Представляет собой продолжение метода
Гаусса, заключающееся в том, что нули
получают также выше главной диагонали.
Элементы на главной диагонали приводят к
единицам, в результате чего из полученной
матрицы выписывается сразу решение
системы.
ЛЕКЦИЯ 2
10

11.

Методы решения систем линейных уравнений
3. Метод Крамера.
Переменные могут быть найдены по формулам Крамера
где Δ - определитель матрицы коэффициентов перед
переменными,
Δј - определитель матрицы, получаемой из матрицы А
заменой ј-го столбца на столбец свободных членов.
ЛЕКЦИЯ 2
11

12.

Методы решения систем линейных уравнений
4. Метод обратной матрицы.
Из матричного уравнения АХ=В следует, что Х=А-1В.
Найдя обратную матрицу и умножив ее на матрицу
свободных членов, получаем матрицу переменных.
ЛЕКЦИЯ 2
12

13. Теорема. (теорема Кронекера - Капелли)

Для того чтобы система линейных уравнений (1.2) была
совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг её
матрицы был равен рангу её расширенной матрицы.
Теорема.
Если система линейных уравнений (1.2) совместна, то:
1) для того, чтобы эта система была определенной,
необходимо и достаточно. чтобы ранг матрицы системы
был равен числу её переменных;
2) для того, чтобы эта система была неопределенной,
необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы был
меньше числа её переменных.
ЛЕКЦИЯ 2
13

14. Пример. Решить систему уравнений

x x x 10,
1
2
3
2 x1 3 x2 x3 22,
4
x
5
x
3
x
42.
2
3
1
ЛЕКЦИЯ 2
14

15. Метод Гаусса

ЛЕКЦИЯ 2
15

16. Теорема. Элементарные преобразования расширенной матрицы данной системы, выполненные лишь над её строками, превращают эту

матрицу в расширенную матрицу
другой системы, равносильной данной.
x1, x2 – базисные переменные
x3 – свободные переменные
x3 = 2,
x2 = 4,
системы.
x1= 4 –частное решение
ЛЕКЦИЯ 2
16

17. Пример. Решить систему

.
x x x 10,
1
2
3
2 x1 3 x2 x3 22,
5
x
4
x
3
x
39.
2
3
1
ЛЕКЦИЯ 2
17

18. Метод Крамера

ЛЕКЦИЯ 2
18

19. Пример. Решить систему

3 x 2 x x 0,
1
2
3
2 x1 x2 5 x3 0,
7
x
9
x
0.
3
1
ЛЕКЦИЯ 2
19

20. Теорема

Чтобы система однородных уравнений имела
ненулевое решение, необходимо и достаточно,
чтобы ранг её матрицы был меньше числа
переменных.
Следствие. Если матрица системы однородных
уравнений квадратная, то для того, чтобы
система имела ненулевое решение, необходимо и
достаточно, чтобы определитель её матрицы был
равен нулю.
ЛЕКЦИЯ 2
20

21. Найдем ранг матрицы системы

ЛЕКЦИЯ 2
21

22. Составим систему однородных уравнений эквивалентную данной

ЛЕКЦИЯ 2
22
English     Русский Правила