Интегральное исчисление функций одной переменной

1.

Управление
8. Интегральное
социальными
исчислениесистемами
функций
одной переменной
Орлик
Любовь Константиновна
Профессор кафедры информатики
и прикладной математики,
кандидат физ.-мат. наук, профессор

2.

8.1. Первообразная. Неопределенный
интеграл
8.2.
8.2.Методы
Методыинтегрирования
интегрирования
8.3.
Определенный
интеграл
8.3.
Определенный
8.3. Определенныйинтеграл
интеграл
Раздел 8.Интегральное исчисление функций одной переменной. Орлик Л.К.

3.

4.

Ранее мы по данной функции
вычисляли ее производную. Сегодня
мы поставим обратную задачу: для
данной функции f ( x) найти такую
функцию F ( x), производная
которой равнялась бы заданной
функции f ( x), т.е.
F ( x) f ( x).

5.

Определение. Функция F ( x)
называется первообразной
функции f ( x), если
F ( x) f ( x).
Примеры.
(sin x) cos x F1 ( x) sin x;
(sin x 1) cos x F2 ( x) sin x 1;

6.

Таким образом, F ( x) C - это
совокупность всех первообразных от
данной функции.
Определение 2. Пусть F ( x) - одна
из первообразных для функции f ( x).
Тогда выражение F ( x) C , где C произвольная постоянная,
называется неопределенным
интегралом и обозначается
f ( x) dx.

7.

Здесь f ( x) называется
подынтегральной функцией, а f ( x) dx
- подынтегральным выражением.
Свойства
1) d
2)
f ( x) dx f ( x) dx
dF
(
x
)
F
(
x
)
C

8.

3)
f
(
x
)
(
x
)
dx
f ( x) dx ( x) dx
4)
kf
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
dx

9.

Таблица основных интегралов
n 1
x
1) x dx
C, n 1
n 1
2) dx x C
dx
3) ln x C
x
n

10.

Таблица основных интегралов
x
a
4) a dx
C
ln a
x
x
5) e dx e C
x

11.

Таблица основных интегралов
6)
sin
x
dx
cos
x
C
7)
cos
x
dx
sin
x
C

12.

Таблица основных интегралов
dx
8)
tg x C
2
cos x
dx
9) 2 ctg x C
sin x

13.

Таблица основных интегралов
dx
1
x
10) 2
arctg C
2
a x a
a
dx
x
11)
arcsin C
2
2
a
a x
dx
2
2
12)
ln x x a C
2
2
x a

14.

Докажем справедливость формулы 3)
dx
ln
x
C
x
Если x 0, то | x | x и ln | x | ln x.
dx
d (ln x) . Следовательно, для x 0
x
dx
ln
x
C
ln
x
C
.
x

15.

x 0, то | x | x и ln | x | ln( x).
1
dx
d ln( x)
( 1)dx .
x
x
Следовательно, для x 0
Если
dx
ln(
x
)
C
ln
x
C
.
x

16.

Примеры.
1
2
2
1) x x 3 dx x dx
x 1
3
2
x dx x dx

17.

3
1
1
2
3 1
x
x
x
C
3 1 1 3 1
2
3
3
2
x 2 2 x
x
C
3 3
2
3
x 2
1
x x 2 C.
3 3
2x

18.

x 1
2)
dx
x
x 1
1
dx 1 dx
x
x x
dx
dx x ln | x | C.
x

19.

dx
3)
2
2
cos x sin x
2
2
cos x sin x
dx
2
2
cos x sin x
dx
dx
2
ctg x tg x C.
2
sin x
cos x

20.

x
6
4) 2 3 dx 6 dx
C.
ln 6
x
x
x
2 3
2 3
5)
dx
dx
x
x
x
3
3 3
x
x
x
x

21.

2
2
1 dx dx dx
3
3
x
2
3
x C.
2
ln
3
x
x

22.

dx
dx
1
x
6)
2
arctg C.
2
2
4 x
2 x
2
2
7)
dx
x
arcsin
C.
2
3
3 x

23.

x
x x 1
x 1
8)
dx 2 2 2 dx
2
x
x
x
x
3
2
dx
2
x dx x dx
x

24.

x
1
2
1
x
ln | x |
C
1 1
2
2 1
ln | x |
C.
x x

25.

2
9)
sin x
tg
x
dx
dx
cos2 x
2
1
1 cos x
cos x
dx
dx
2
2
2
cos x
cos x cos x
2
2
dx
dx
tg
x
x
C
.
2
cos x

26.

2
cos x
10) ctg x dx 2 dx
sin x
2
1 sin x
dx
dx
dx
2
2
sin x
sin x
2
ctg x x C.

27.

Теорема. Любая непрерывная на
отрезке функция имеет на этом
отрезке первообразную.
Действие отыскания неопределенного
интеграла или, что то же самое,
нахождение всех первообразных от
данной функции, называется
интегрированием этой функции.
Дифференцирование и интегрирование
являются взаимно обратными
операциями.

28.

Геометрический смысл
неопределенного интеграла
Назовем график первообразной
функции от f ( x) интегральной кривой.
F ( x) f ( x),
y F ( x) есть
Таким образом, если
то график функции
интегральная кривая.

29.

Неопределенный интеграл
геометрически представляется
семейством всех интегральных кривых
y
0
y F ( x) C2
y F ( x) C1
y F ( x)
x

30.

Пример.
2
x
dx
x
C
.
2
Построить интегральные кривые.
Пусть
C 0;
y x .
y
2
C 1;
y x 1.
C 2;
y x 2.
2
2
2
1
0
x

31.

Интегралы, не берущиеся в
элементарных функциях
В дифференциальном исчислении
производная от любой элементарной
функции есть функция элементарная.
Другое дело операция, обратная
дифференцированию, – интегрирование.

32.

Можно привести примеры элементарных
функций, первообразные от которых хотя
и существуют, но не являются
элементарными функциями. Так,
например, по теореме существования для
функций
e
x2
sin x cos x 1
,
,
,
x
x ln x
существуют первообразные, но они не
выражаются в элементарных функциях.

33.

Несмотря на это, все эти первообразные
хорошо изучены и для них составлены
таблицы, помогающие практически
использовать эти функции.
Так, например, большое значение в
приложениях играет первообразная
от функции
1
e
2
x2
2
( x)
,
удовлетворяющая дополнительному
условию ( x) 0.

34.

Эта функция встречается в теории
вероятностей и называется интегралом
вероятностей.
Если первообразная для некоторой
функции не является элементарной
функцией, то говорят, что интеграл не
берется в элементарных функциях.

35. Учебный вопрос 8.2. Методы интегрирования

36.

Тема: Замена переменной в
неопределенном интеграле

37.

Введем вместо x новую
переменную t , связанную с
соотношением x (t ).
x
Тогда
f ( x) dx f (t ) (t ) dt.

38.

Примеры.
1)
sin
ax
dx
ax t ;
d (ax) dt ;
1
a dx dt dx dt .
a

39.

dt 1
sin t sin t dt
a a
1
1
cos t C cos ax C.
a
a

40.

2)
tg
x
dx
.
Имеем
sin x
d (cos x)
tg
x
dx
dx
cos x
cos x
dt
ln | t | C ln | cos x | C.
t

41.

Заметим, что
sin x dx d (cos x).
Здесь мы устно ввели под знак
интеграла функцию sin x.

42.

3)
x
1
x
dx
.
2
1
2
Замечая, что x dx d x 1 ,
2
получаем
1
1
2
2 2
2
x
1
x
dx
1
x
d
x
1
.
2
3
3
2
2
2
2
x 1
1 x 1
C
C.
3
2
3
2

43.

4)
Интегралы вида
sin
mx
sin
nx
dx
,
sin
mx
cos
nx
dx
,
cos
mx
cos
nx
dx
.
Эти интегралы вычисляются
методом разложения на основании
тригонометрических тождеств.

44.

sin(m n) x sin(m n) x
sin mx cos nx
,
2
cos(m n) x cos(m n) x
sin mx sin nx
,
2
cos(m n) x cos(m n) x
cos mx cos nx
.
2

45.

2
x
5) 3 dx
x 1
3
x 1 t;
d x 1 dt ;
3
3 x dx dt ;
2
1
x dx dt.
3
2

46.

1 dt 1
1
3
ln | t | C ln x 1 C.
3 t 3
3
2
Можно устно внести x под знак
дифференциала:
1
2
3
x dx d x 1 .
3
Тогда
x dx 1 d x 1 1
3
ln
x
1
C
.
3
3
x 1 3 x 1 3
2
3

47.

6)
sin
x
cos
x
dx
.
Рассмотрим три способа.
sin x cos x dx sin x d (sin x)
2
sin x
C.
2
sin x cos x dx cos x d (cos x)
2
cos x
C.
2

48.

1
sin
x
cos
x
dx
sin
2
x
dx
2
1 1
1
sin 2 x d (2 x) cos 2 x C.
2 2
4
Проверка.
sin x
C sin x cos x.
2
2

49.

cos x
C sin x cos x.
2
1
1
cos 2 x C 2sin 2 x
4
4
2
1
sin 2 x sin x cos x.
2

50.

1
7) cos x dx 1 cos2 x dx
2
1
1
x sin 2 x C.
2
4
2

51.

8)
cos
x
dx
cos
x
cos
x
dx
3
2
(1 sin x) d (sin x)
2
d (sin x) sin x d (sin x)
2
3
sin x
sin x
C.
3

52. Учебный вопрос 8.3. Определенный интеграл

53.

Задача о площади
криволинейной трапеции
Рассмотрим фигуру, ограниченную
слева и справа прямыми x a и x b,
снизу отрезком оси Ox и сверху
кривой y f ( x).
y
0
y f ( x)
a
b
x

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

Кузнецов, Б.Т. Математика : учебник / Б.Т. Кузнецов. - 2-е изд., перераб.
и доп. - М. : Юнити-Дана, 2015. - 719 с. : ил., табл., граф. - (Высшее
профессиональное образование: Экономика и управление). - Библиогр.
в кн. - ISBN 5-238-00754-Х ; То же [Электронный ресурс]. - URL:
http://biblioclub.ru/
Автор: Углирж Ю. Г., Назв.: Математика: учебное пособие, Место изд.:
Омск, Изд.: Омский государственный университет путей сообщения, Год
издания: 2013г. // http://biblioclub.ru/
Автор: Ильин, В. А., Куркина, А. В., Назв.: Высшая математика : учеб. для
студ. вузов, Место изд.: М., Изд.: Проспект, Год издания: 2014г.
Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Орлик Л.К.