06_ ОТС_ Ряд Фурье и интеграл Фурье

1. Ряд Фурье и интеграл Фурье

Презентация лекции по курсу «Общая теория связи»
© Д.т.н., проф. Васюков В.Н., [email protected]
Новосибирский государственный технический университет,
Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Факультет Радиотехники и электроники
Кафедра теоретических основ радиотехники

2.

Не в совокупности ищи
единства, но более –
в единообразии разделения.
Козьма Прутков.
Мысли и афоризмы, № 81
2

3. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

Базис
1 j 2 kt
T , k ,
e
ортонормален
T
и полон для пространства L2 (T )
x(t ) k
x(t ) L2 (T )
k
T /2
1
k
x(t )e
T T /2
j
1
T
2
kt
e T
j
2
kt
T dt
3

4. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

x(t )
x(t ) L2 (T )
k
T /2
1
Ck
T T /2
2
kt
Ck e T
j
2
j kt
x(t )e T dt
Равенство Парсеваля
T /2
k
x(t ) dt k
T /2
2
T /2
2
Ck
x(t ) dt T k
2
T /2
4
2

5. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

Базисные функции
j 2 kt
e T , k ,
t T / 2, T / 2
при
1
1
0.5
Re( x( t ) )
Im( x( t ) )
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.5
1
1
0.5
t
111
11
Re( x( t ) )
Re( x( t ) )
Im( x( t ) )
Im( x( t ) )
0.5
0.5
0.5
0.5
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
00
0.5
0.5
0
0.2
0.2
0.2
0.40.4
0.4
0.5
1
1
11
1
0.5
0.5
0.5
tt
t
0.50.5
0.5
5

6. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

Базисные функции
j 2 kt
e T , k ,
при t ,
периодичны
T представляет собой наименьшее общее кратное их периодов
x(t )
t
Ряд Фурье представляет сигнал на конечном интервале и его
периодическое продолжение на всей оси
t ,
При этом спектральные коэффициенты находятся по тем же
формулам!
6

7. Комплексный ряд Фурье

x(t )
k
2
j kt
Ck e T
в общем случае комплексные
T /2
1
Ck
x(t )e
T T /2
j
2
kt
T dt
Ck Ck e j k
Ck , k ,
k , k ,
амплитудный спектр
фазовый спектр
7

8. Комплексный ряд Фурье вещественного сигнала

Сигнал вещественный
амплитудный спектр чётный
фазовый спектр нечётный
x (t ) x(t )
*
T /2
1
C k
T T / 2
*
2
2
T
/
2
1
j kt
j kt
x(t )e T dt
x* (t )e T dt
T
T / 2
С k Ck
Ck*
*
8

9. Тригонометрические формы ряда Фурье

Просуммируем пару
2
2
2
2
j kt
j kt
j kt
j kt
*
Ck e T C k e T Ck e T Ck e T
2
2
kt
j kt
2
j k
j k
T
T
2 Ck cos
kt k
Ck e e
Ck e
e
j
T
Тогда ряд Фурье можно записать в тригонометрической форме
2
x(t ) Ak cos
kt k ,
T
2 C , k 0,
k 0
k
Ak
Ak Ck C0 , k 0.
9

10. Тригонометрические формы ряда Фурье

a0
2
2
x(t ) ak cos
kt bk sin
kt
2 k 1
T
T
2
2
ak
x(t ) cos
kt dt , k 0,
T T /2
T
T /2
2
2
bk
x(t )sin
kt dt , k 1,
T T /2
T
T /2
10

11. Тригонометрические формы ряда Фурье

Сложим пару функций
2
2
ak cos
kt bk sin
kt
T
T
ak
2
2
j kt
j kt
e T e T
2
bk
2
2
j kt
j kt
e T e T
2j
2
2
ak jbk j T kt ak jbk j T kt
e
e
2
2
2
2
j kt
j kt
Ck e T C k e T 11

12. Тригонометрические формы ряда Фурье

ak jbk
Ck
2
ak jbk
C k
2
Отсюда следуют связи
Ck
Ak
2
2
ak bk
a0
C0
2
2
2
2
ak bk
a0
A0
2
bk
k arctg
ak
сигнал четный – все синусоидальные компоненты равны 0;
сигнал нечетный – все косинусоидальные компоненты равны
нулю (при этом равна нулю и постоянная составляющая)
12

13. Пример.

Ck
k и
2
k и
2
2
и /2
T /2
sin
j
kt
1
1
2
U
x(t )e T dt
U cos
kt dt и
T
T
T /2
2
2 F
T
F 1/ T
и /2
T
T
круговая частота повторения
импульсов
циклическая частота повторения импульсов
U и
C0
U q
T
q T и
скважность импульсной
последовательности

14.

и
2
огибающая впервые
пересекает ось
абсцисс
f 1 и
Дискреты отстоят друг от друга на
численное
значение
скважности
F 1 T
во сколько раз полуширина
главного лепестка
огибающей спектра больше
шага следования
спектральных составляющих
по оси частот

15. Аппроксимация сигнала конечной суммой ряда Фурье

Ошибка аппроксимации имеет энергию
2
N 1
T Ck T Ck
k
2
k N 1
2
N
T Ck T Ck
k
2
k N
2

16. Связь ряда и преобразования Фурье

Рассмотрим импульс (финитный сигнал)
со спектральной плотностью
x(t )
x(t ) x(t kT )
X(f )
k
T / 2
T /2
Спектр периодического сигнала
T 2
1
Ck
x(t )e
T T 2
j
2
kt
1 k
T dt
X
T
f
T
t

17. Свойства преобразования Фурье

1. Линейность
k xk (t ) k X k ( f )
k
k
2. Дуальность (частотно-временная симметрия)
x( f ) X ( t )
x(t )
X ( t )
X(f )
x( f )

18. Свойства преобразования Фурье

3. Теорема сдвига (запаздывания)
X ( f ) x(t )e
x( )e
j 2 ft
dt
j 2 f ( )
x(t ) e
x (t ) x(t )
d
e
j 2 f
j 2 f
X(f )
X(f )

19. Свойства преобразования Фурье

4. Теорема масштаба
m 0
X m ( f ) x(mt )e
m 0
X m ( f ) x ( t )e
xm (t ) x(mt )
j 2 ft
j 2 ft
1 f
x(mt )
X
m m
dt
1 f
j 2 f m d
x( )e
X
m
dt
m
m
1
j 2 f d
x( )e
x( )e
j 2 f
f
d X
1

20. Свойства преобразования Фурье

xd (t ) dx(t ) dt
5. Теорема дифференцирования
dx(t ) j 2 ft
Xd ( f )
e
dt
dt
x(t )e
j 2 ft
dx(t )
j 2 f X ( f )
dt
udv uv vdu
j 2 f x(t )e j 2 ft dt
0
x(t ) L2 ( , )
6. Теорема интегрирования
1
X (0) ( f )
x(t )dt j 2 f X ( f ) 2
t

21. Свойства преобразования Фурье

e
7. Теорема модуляции (смещения)
x(t )e
j 2 f 0t j 2 ft
e
dt
x(t )e
j 2 ( f f 0 )t
x(t )e
j 2 f0t
dt
X ( f f0 )
j 2 f0t
X ( f f0 )

22. Свойства преобразования Фурье

8. Теорема свёртки
x(t ) y (t ) X ( f )Y ( f )
9. Теорема умножения
x(t ) y (t ) X ( f ) Y ( f )
X
(
)
Y
(
f
)
d
X
(
f
)
Y
(
f
)

23. Свойства преобразования Фурье

10. Теорема сопряжения
x (t ) X ( f )
*
x(t ) X ( f )
x (t )e
*
j 2 ft
*
dt
x(t )e
*
j 2 ( f )t
dt
X ( f )
*

24. Свойства преобразования Фурье

11. Теорема обращения
x _(t ) x( t )
X ( f ) x( t )e
j 2 ft
dt
j 2 f
x
(
)
e
( d )
x( )e j 2 ( f ) d X ( f )
x( t ) X ( f )

25. Свойства преобразования Фурье

X ( f ) X * ( f )
Сигнал вещественный
или
X ( f ) X ( f )
arg X ( f ) arg X ( f )
в самом деле:
X ( f ) x(t )e
j 2 ft
dt x(t )e
То же следует из т. сопряжения:
x (t ) X ( f )
*
*
*
j 2 ft
dt
x(t )e
*
j 2 ( f )t
dt

26. Свойства преобразования Фурье

Сигнал вещественный
или
X ( f ) X * ( f )
Re X ( f ) Re X ( f )
Im X ( f ) Im X ( f )
Сигнал вещ. четный
x(t ) x ( t )
X ( f ) X ( f )
Im X ( f ) 0
Сигнал вещ. нечетный
x(t ) x( t )
X ( f ) X ( f )
Re X ( f ) 0

27. Спектральная плотность гармонического сигнала

e
j 2 f0t
L2 ( , )
спектральная плотность в
обычном смысле не
существует
j 2 f 0t
j 2 ft
(
f
f
)
e
df
e
0
0
1
cos(2 f 0t ) ( f f 0 ) ( f f 0 )
2
1
sin(2 f0t ) ( f f 0 ) ( f f 0 )
2j
f0
f

28. Балансно-модулированное колебание

x(t )cos(2 f 0t )
X ( f f0 ) X ( f f0 )
2
2
1
cos(2 f 0t ) ( f f 0 ) ( f f 0 )
2
X ( ) ( f f0 )d X ( f f0 )
X ( ) ( f f0 )d X ( f f0 )

29. Спектральные плотности периодических сигналов

Периодический сигнал
x(t )
k
x(t )
2
kt
Ck e T
j
t
Спектральная плотность
2
X ( f ) Ck f k
T
k
0
1
T
2
T
k
T
f