Введение декартовых координат в пространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка

1.

Введение декартовых
координат в пространстве.
Расстояние между точками.
Координаты середины
отрезка.

2.

Введение декартовых координат в
пространстве.
• Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет
две оси, а прямоугольная декартова система координат в
пространстве - три оси. Каждая точка на плоскости или в
пространстве определяется упорядоченным набором координат чисел в соответствии единице длины системы координат.

3.

Прямоугольная декартова система
координат на плоскости
• Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой
масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему
координат на плоскости. Одна из этих осей называется осью Ox, или осью
абсцисс, другую - осью Oy, или осью ординат. Эти оси называются также
координатными осями. Обозначим через Mx и My соответственно проекции
произвольной точки М на оси Ox и Oy. Как получить проекции? Проведём через
точку М прямую, перпендикулярную оси Ox. Эта прямая пересекает ось Ox в
точке Mx. Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Oy. Эта прямая
пересекает ось Oy в точке My. Это показано на рисунке ниже.

4.

Прямоугольная декартова система
координат в пространстве
• Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные
оси) с общим началом O и одинаковой масштабной единицей
образуют декартову прямоугольную систему координат в
пространстве.
• Одну из указанных осей называют осью Ox, или осью абсцисс,
другую - осью Oy, или осью ординат, третью - осью Oz, или осью
аппликат. Пусть Mx, My Mz - проекции произвольной
точки М пространства на оси Ox, Oy и Oz соответственно.

5.

Расстояние между точками
• Есть две произвольные точки A1(x1;y1;z1)
и A2(x2;y2;z2)
Тогда расстояние между точками A1 и A2
вычисляется так:

6.

Координаты середины отрезка
• Есть две произвольные точки A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2). Тогда
серединой отрезка A1A2 будет точка С с координатами x, y, z, где

7.

Пример 1. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
• A(2; -3);
• B(3; -1);
• C(-5; 1).
Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.
Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция
точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть
оси Ox, а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки,
и ординату (координату на оси Oy, которую ось абсцисс пересекает в
точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных
точек на ось абсцисс:
• Ax(2; 0);
• Bx(3; 0);
• Cx(-5; 0).

8.

Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости
даны точки
• A(-3; 2);
• B(-5; 1);
• C(3; -2).
Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.
Задание решить в тетрадь

9.

Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости
даны точки
• A(-2; 5);
• B(3; -5);
• C(a; b).
Найти координаты точек, симметричных этим точкам
относительно оси Oy.
Решить в тетрадь.

10.

Пример 4.
Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2).
Решение.
AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 = √(6 - (-1))2 + (2 - 3)2 = √72 + 12 =
√50 = 5√2
Ответ: AB = 5√2.
Пример 5.
Найти расстояние между точками A(0, 1) и B(2,-2).
Пример 6.
Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2).
Решить в тетради пример 5 и 6.

11.

Пример 7. Найти координаты точки С середины отрезка AB заданного
точками A(-1, 3, 1) и B(6, 5, -3).
Решение.
Ответ: С (2.5, 4, -1).

12.

Пример 8. Найти координаты точки С середины отрезка AB
заданного точками A(-4, 1, 2) и B(3, 8, 1).
Пример 9. Найти координаты точки В если известны координаты
точки C(1, 5, 2), середины отрезка AB и точки A(-1, 3, 10).
Примеры 8-9 решить в тетради.