Логарифмическая и обратные тригонометрические функции комплексного переменного

1.

Если
e z
где
z 0
то число w называется логарифмом
числа z и обозначается
Lnz

2.

Поскольку
u i v
e e (cos y i sin y)
z
e e
x
Arge v
u
В рассматриваемом случае
e z
e z
u
u ln z
v Argz

3.

Lnz ln z i Argz ln z i arg z 2k i
Где z -число
действительное
положительное.
ln z
и
-известный из курса математики
логарифм действительной величины.

4.

Ввиду многозначности аргумента логарифм
является
многозначной
функцией,
действительная часть которого
ln z
определяется однозначно, а мнимая содержит
неопределенное слагаемой, кратное 2П.
Главным значением логарифма
называется то значение, которое
соответствует главному значению
аргумента числа z.

5.

В полученной формуле главное значение
логарифма будет при к=0.
Если z=x – действительное число, то
z x,
arg z 0
Поэтому
главное
значение
логарифма
действительного
положительного
числа
является числом действительным и совпадает
со значением
ln x
которое приводится в таблице логарифмов.

6.

Будем обозначать
ln z ln z i arg z

7.

Вычислить
1
2
3
4
ln( 1)
Ln( 1)
ln i
Lni
5
ln( 3 4 i )
6
Ln(3 4 i )

8.

1
2
3
ln( 1) ln 1 i arg( 1) ln 1 i i
0
Ln( 1) ln 1 i arg( 1) 2k i
ln 1 i 2k i i (1 2k )
0
ln( i ) ln i i arg( i ) ln 1 i i
2
2
0

9.

4
Ln(i ) ln i i arg( i ) 2k i
1
ln 1 i 2k i i 2k
2
2
5
ln( 3 4 i ) ln 3 4 i i arg( 3 4 i )
4
4
ln 3 4 i arctg ln 5 i arctg
3
3
2
2

10.

6
Ln(3 4 i ) ln 3 4 i i arg( 3 4 i )
2k i
4
ln 3 4 i arctg 2k i
3
4
ln 5 i arctg 2k i
3
2
2

11.

Обобщим свойства логарифма
комплексного аргумента:
на
1
Argz Argz1 Argz2
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
случай

12.

2
z1
Arg Argz1 Argz2
z2
z1
Ln
z2
Lnz1 Lnz 2

13.

3
Arg ( z ) n Argz
n
Ln( z ) n Lnz
n

14.

4
1
Arg z Argz
n
n
1
Ln z Lnz
n
n

15.

По определению логарифмической функции
e
Ln
для любого комплексного числа
Тогда
e
z
Поскольку
логарифм
функция, то функция
z Ln
–
z
тоже будет многозначной.
многозначная

16.

Вычислить
1
2
i
i
1 i
2

17.

1
i e
i
i Lni
e
i i 2 k i
2
e
2 k
2
k 0, 1, 2...
Главное значение
2
1 i
2 e
(1 i ) Ln 2
e
e
ln 2 2 k
i e
i
2
(1 i ) ln 2 2 k i
e
(ln 2 2 k ) i (ln 2 2 k )
(cos(ln 2) i sin(ln 2))

18.

Определим
функции.
обратные
тригонометрические
Если sin z
то число w называется арксинусом
числа z и обозначается
ω Arcsin z
Аналогично:

19.

Если cos z
то число w называется арккосинусом
числа z и обозначается
ω Arccos z
Если tg z
то число w называется арктангенсом
числа z и обозначается
ω Arctg z

20.

Если ctg z
то число w называется арккотангенсом
числа z и обозначается
ω Arcctg z

21.

Если
z sin
то
i
e e
z
2 i
i
i
e 2i z e
e
2 i
i
0
i
2i z e 1 0
Обозначим
i
e f
f 2i z f 1 0
2

22.

Решаем это квадратное уравнение:
D 4 z 4 4 (1 z )
2
2
2i z 2 1 z
2
i
f
i z 1 z e
2
2
i Ln i z 1 z
2
Arcsin z i Ln i z 1 z
2

23.

Т.к. логарифм многозначен, а корень –
двухзначен,
то
арксинус
тоже
будет
многозначной функцией.
Если z – действительное число,
z 1
то
1 z
2
-тоже действительная величина и
i z 1 z 1
2

24.

Но поскольку
Lnz ln z i Argz
то все значения логарифма числа, модуль
которого равен 1, являются чисто мнимыми, а
так как в выражении для арксинуса в правой
части стоит –i, то в этом случае арксинус будет
действительной величиной.
В остальных случаях он будет мнимым.
Аналогично можно получить:
Arc cos z i Ln z 1 z
2

25.

Если
z tg
то
i
i
e e
z
i
i
i (e e )
i
z i e i z e
i
i
e (1 i z ) e
i
e e
i
i
(1 i z )

26.

e
2 i
1 i z
1 i z
1 i z
2i Ln
1 i z
i
1 i z
Arctgz Ln
2 1 i z
Если z – действительное число, то числа
1 i z и 1 i z
будут
сопряженными
модулями.
с
одинаковыми

27.

Тогда все значения логарифма будут чисто
i
мнимыми. Поскольку стоит множитель
2
То
значения
арктангенса
будут
действительными. В остальных случаях они
будут мнимыми.
Аналогично можно получить:
i
z i
Arcctgz Ln
2
z i

28.

Вычислить
1
2
Arcsin 2
Arctg( 2i )

29.

1
Arcsin 2 i Ln(i 2 1 2 2 ) i Ln(2 i 3 )
i Ln(2 i i 3 ) i Ln (2 3 ) i
i ln( 2 3 ) i 2k i
2
2
i ln( 2 3 ) 2k

30.

2
i
1 2 i2
Arctg( 2i ) Ln
2
2
1 2 i
i
i 1
1
Ln ln i 2k i
2
2 3
3
i 1
ln 2k
2 3 2