Дробно-линейная функция

1.

Дробно-линейная функция
ad
b
a, b, c, d ,
az b a
c
,
.
w
cz d c cz d ad bc 0.
Частные случаи:
1. w z h – параллельный перенос
на вектор h .
i
2. w e z – поворот на угол .
3. w rz, r , r 0 – подобие
с коэффициентом подобия r .
4. w
1
– обратное отображение.
z
w1 cz ,
w2 w1 d ,
1
,
w3
w2
ad
w4 b
w3 ,
c
a
w w4
c
Дробно-линейная функция – однолистное отображение, диффе d
ренцируемое в \ .
1
a

2.

Теорема (круговое свойство дробно-линейного отображения)
Любое дробно-линейное отображение преобразует каждую окружность на в окружность на .
Для отображений подобия, поворота и переноса круговое свойство
очевидно. Докажем его справедливость для обратного отображения.
Каждую окружность на плоскости можно задать уравнением
A x 2 y 2 Bx Cy D 0 . (1)
Пусть z x iy , тогда (1) можно записать в виде
Azz B1 z C1 z D 0 , (2)
1
1
B iC , C1 B iC .
2
2
1
Подставим в (2) z :
A B1 C1
D 0 или A B1 C1 D 0 .
Получили уравнение вида (2), а значит, уравнение окружности.
где B1
3

3.

Свойства дробно-линейного отображения
1. Какими бы ни были 3 разные точки z1 , z2 , z2
1 , 2 , 2
и 3 разные точки
существует, и притом единственное, дробно линейное отображе-
ние L z такое, что k L zk , k 1, 2,3.
Следствие. Любую окружность
можно с помощью дробно-линейного
отображения преобразовать в любую другую окружность * .
2. Инвариантность симметричных точек.
Точки z и z * называются симметричными на , если они лежат на одном
и том же луче, выходящем из центра окружности z0 , а произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса данной окружности.
Произвольное дробно-линейное отображение переводит каждую пару точек
z и z * , симметричных относительно некоторой окружности , в точки и
* , симметричные относительно окружности * , являющейся образом
окружности
при данном отображении.
4

4.

Степенная функция z n , n , n 2 (1) и многозначная функция n z
1. Дифференцируема.
d
nz n 1 0 .
dz
Отображение (1) конформное в каждой точке z
2. z 0
\ 0 .
Пусть z rei , ei . Тогда r n , n arg z .
отображение (1) увеличивает в n раз углы с вершиной в точке z 0
отображение (1) не является конформным в точке z 0 .
3. Отображение (1) однозначное, но не взаимно однозначное.
Любые две точки z1 , z2 \ 0 такие, что
z1 z2 , arg z1 arg z2
2
k, k ,
n
переходят в одну точку плоскости .
Областью однолистности – любая область плоскости z целиком лежащая
2
внутри угла величиной
с центром в начале координат.
n
5

5.

Пусть D* – односвязная область плоскости , не
содержащая точек 0 и .
В D* можно определить n разных однозначных
функций, для каждой из которых функция z n
является обратной. Эти функции – однозначные ветви
многозначной функции
n
z.
Пусть z rei , ei . Тогда r
n
,
, где угол
n
0 2 k k 0, n 1
определяется
однозначно
многозначной функцией
для
n
z
каждой
ветки
и каждой точки из
области D* .
Точки z 0 z – точки разветвления n 1 -го порядка функции n z . На
поверхности Римана эти точки являются концевыми точками разрезов, общими для
всех листов.
Каждая ветвь функции n z
является дифференцируемой в области D*
dn n
с производной
0 , а значит, отображение, осуществляемое каждой ветвью,
d
n
6
конформное в любой области D* .
Точки разветвления

6.

Показательная функция e z и многозначная функция z Ln
u iv e z e x iy e x cos y i sin y .
(1)
1) Для действительных z x определение (1) совпадает с обычным.
2) Функция e z дифференцируема z
de z
и
ez .
dz
3) Сохраняется теорема сложения e z1 e z2 e z1 z2 .
e z1 e z2 e x1 cos y1 i sin y1 e x2 cos y2 i sin y2
e x1 x2 cos y1 y2 i sin y1 y2 e z1 z2
4) Функция e z периодическая с основным периодом 2 i .
5) Функция e z определена в
lim e z , lim e z 0
z x 0
x
z x 0
x
и не имеет предела при z
8

7.

6) z
z 0 . Любая другая точка плоскости (т.е. 0 )
принадлежит образу плоскости
e z e x cos y i sin y 0 , так как
x e x 0 и y "cos y 0 sin y 0" Л .
Пусть , 0, . Найдем по такое z , что e z .
e x x ln , y Argw .
Следовательно, существует бесконечное множество прообразов точки
, 0, : z x iy Ln ln i Arg .
Все они лежат на прямой, параллельной оси Oy , на расстоянии 2
один от другого. Поэтому отображение e z :
\ 0 является
однозначным, но не взаимно однозначным.
Arg z arg z 2 k , k , arg z ,
9

8.

7) Любая область, не содержащая двух разных точек, в которых действительные части
совпадают, а мнимые отличаются на 2k , k , будет областью однолистности
показательной функции z e z .
Разобьем плоскость z на горизонтальные полосы
шириной 2 : M k z 2k Im z 2 k 1 , k .
Каждая такая полоса отображается показательной
функцией на множество
GR , 0 , 2k 2 k 1 ,
т.е. на плоскость с разрезом по положительной
действительно полуоси.
Поверхность Римана многозначной функции z Ln , являющейся обратной к
показательной e z . Каждая плоскость соответствует полосе однолистности.
u iv e z e x iy e x cos y i sin y
Ln ln i arg 2k , k
Точки 0 и – точки разветвления бесконечного порядка.
В любой односвязной области D* , не содержащей точек 0 и , можно построить
счетное множество однозначных функций, по отношению к которым функция z e z
10
будет обратной.

9.

df
Общая показательная функция p e z Ln p , p
z
Для получения отдельной ветви функции фиксируем одно
из значений Ln p . Пусть Ln p c , тогда e cz – однозначная
аналитическая функция. Главному значению Ln p ( k 0 )
соответствует главное значение показательной функции.
По какой бы замкнутой спрямляемой кривой не двигаться,
после полного обхода значение k останется прежним для
фиксированного k . Многозначная функция p z не имеет точек
разветвления и представляет собой совокупность отдельных,
не связанных между собой аналитических функций.
11

10.

Общая степенная функция z p
zp z
p
ip
cos
p
i
sin
p
z
e
, Arg z .
p
m
Если p , где m и n – взаимно простые, m , n \ 1 ,
n
то функция в каждой точке z 0 имеет n разных значений и в любой односвязной области, не содержащей 0 и , можно выделить n
однозначных ветвей. Следовательно, z 0 и z – точки разветвления n 1 -ого порядка многозначной функции z p .
Если p
\
, то в каждой точке z 0 , z существует сколь
угодно много значений z p . В любой односвязной области, не содержащей точек 0 и , существует бесконечное множество однозначных ветвей многозначной функции z p .
df
Если p , то z e p Ln z e p ln z eip 2k .
p
12

11.

df
z e p Ln z e p ln z eip 2k , z 0, z , p .
p
____________________________________________
З а м е ч а н и е 1 . Так как Ln z – многозначная функция, то и
общая степенная функция также многозначная. Точкой разветвления является точка z 0 .
З а м е ч а н и е 2 . Для степенной функции с произвольным показателем правила сложения показателей при умножении степеней, а также правило умножения показателей при возведении
степени в степень не работает:
z p1 z p2 e p1Ln z e p2Ln z e p1Ln z p2Ln z e
z
p q
e
pLn z q
p1 p2 Ln z
z p1 p2
q pLn z 2 k i
e
eqpLn z
14

12.

1
1
Функция Жуковского z
2
z
Отображение есть композиция отображений
1
z 1
1
, 2 12 , 2
.
z 1
1 2
d 1
1
Функция Жуковского дифференцируема в \ 0 и
1 2 .
dz 2 z
1) Первое и последнее отображения – дробно-линейные конформные.
Отображение 2 удваивает углы в точках 1 0 и 2 , которым отвечают
точки z 1.
Функция Жуковского удваивает углы в точках z 1 не является конформным отображением в этих точках.
2) В точке z 0 отображение конформно, так как
2
d 1 2 1 z
dz z 2 1 2
0.
z 0
1
Конформность в точке z вытекает из равенства z .
z
1
1
z 1 0 отображение z конформно в
2
z
\ 0, 1,1 . 15

13.

Условия однолистности
Для однолистности функции Жуковского в области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала такой пары точек z1 z2 , что z1 z2 1.
z1 , z2 , z1 z2 , z1 z2
1
1
1
z1 z2 z1 z2 1
0 z1 z2 1.
z
z
z
z
1
2
1 2
Примеры однолистных областей: z 1 , z 1, Im z 0 , Im z 0 .
Окружность z 1 делит плоскость z на две области однолистности: G1 и G2 :
16

14.

1
1
1
1
Пусть z rei , u iv , тогда u r cos , v r sin .
2
r
2
r
Окружность z r0 1 отображается в
1
1
1
1
эллипс с фокусами в точках 1 и полуосями a r , b r .
2
r
2
r
Между точками окружности и эллипса существует взаимно однозначное соответствие. При r0 1 направления их обходов совпадают, а при r0 1 они противоположны.
При r0 0 ( r0 ) a , b , а при r0 1 a 1 , b 0 .
Функция, обратная к функции Жуковского, имеет вид z 2 1 и
17
является многозначной с точками разветвления первого порядка 1.

15.

eiz e iz
eiz e iz
Тригонометрические функции sin z
, cos z
2i
2
Сиойства:
1. При z x sin z и cos z совпадают с функциями действительного
аргумента sin x и cos x .
2. sin z и cos z – дифференцируемы в
и
sin z cos z , cos z sin z .
z , …
2
3. sin z cos z 1 , sin z cos
2
2
4. sin z и cos z – периодические с основным периодом 2 .
5. sin z – нечетная функция, cos z – четная функция.
e z e z
e z e z
Гиперболические функции sh z
, ch z
2
2
sh z i sin iz , ch z cos iz
sin z i sh iz , cos z ch iz
18

16.

cos z
e e
2
iz
iz
1 iz – поворот
2 e 1 – показательная функция
1
1
2
– функция Жуковского
2
2
eiz e iz
sin z
2i
1 z – параллельный перенос
2
2 i 1 – поворот
3 e 2 – показательная функция
1
1
3 – функция Жуковского
2
3
Области однолистности – вертикальные полосы, шириной .
Обратные многозначные функции:
z Arcsin
z Arccos
2 2 1
1 Ln 2
1
z 1 Ln 2 1
i
i
3 2 1
2 Ln 3
1
1 2 Ln 2 1
i
2 i
1
z 1 Ln 2 1
19
2
2 i

17.

sin z
eiz e iz
tg z
i iz iz
cos z
e e
cos z
eiz e iz
ctg z
i iz iz
sin z
e e
Дифференцируемы всюду за исключением тех точек, в которых
знаменатели обращаются в 0.
Периодические, с действительным основным периодом .
1 2iz , 2 e 1 ,
1 2iz , 2 e 1 ,
2 1
2 1
, i 3
3
, i 3
3
2 1
2 1
Области однолистности – вертикальные полосы, шириной .
Обратные многозначные функции:
z Arctg
3 i , 2
z
1 3
, 1 Ln 2 ,
1 3
1
1
1 i
1 Ln
2i
2i
1
z Arcctg
3 i , 2
z
1 3
, 1 Ln 2 ,
3 1
1
1
i 1
1 Ln
2i
2i
i 1
20