Определенный интеграл: свойства, смысл, формула Ньютона–Лейбница и приложения

1.

§ 8. Определенный интеграл, его свойства
Пусть функция y f x непрерывна на отрезке a, b . Точками
x0 a, x1 , x2 , ..., xn b
разобьем отрезок a, b на n частичных отрезков (рис. 5.2)
x0 , x1 , x1 , x2 , ..., xn 1 , xn
длиной соответственно
x1 x0 , x1 , x2 x1 , x2 , ..., xn xn 1 , xn .
1
2
O a=x0 x1
n
x2
X
… b=xn
Рисунок 5.2
В каждом частичном отрезке xi 1 , xi возьмем произвольную точку
i xi 1 , xi , i 1,2,...,n .

2.

Интегральной суммой функции
называют выражение
y f x
на отрезке
a, b
n
S n f 1 x1 f 2 x2 ... f n 1 xn f i xi .
i 1
Теорема. Если при неограниченном возрастании числа частичных
промежутков наибольшая из их длин стремится к нулю, то
интегральная сумма Sn стремится к некоторому пределу I, причем
число I – одно и то же при любом способе образования частичных
отрезков и при любом выборе точек 1 , 2 , ..., n .
Число I называют определенным интегралом от функции y f x
на отрезке a, b и обозначают
b
f x dx ,
a
где
число a называют нижним пределом интегрирования,
число b называют верхним пределом интегрирования,
отрезок a, b называют областью интегрирования.

3.

Функцию y f x , для которой на отрезке
a, b существует
b
определенный интеграл f x dx , называют интегрируемой на отрезке
a
a, b .
Свойства определенного интеграла.
1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной
интегрирования:
b
b
a
a
f x dx f u du .
1
1
1
3
0
0
2. Определенный интеграл
интегрирования равен нулю:
Пример. x 2 dx y 2 dy
a
с
f x dx 0 .
a
одинаковыми
пределами

4.

3. Для любого действительного числа C:
b
b
a
a
Cf x dx C f x dx .
Другими словами постоянный множитель можно выносить за знак
определенного интеграла.
4. При перестановке пределов определенный интеграл меняет
свой знак
b
a
a
b
f x dx f x dx .
5. Для любой точки c, лежащей внутри или вне отрезка a, b ,
b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx .
b
b
b
a
a
a
6. f x g x dx f x dx g x dx .

5.

7. Если функция f x непрерывна на отрезке a, b , то существует
b
точка c a, b такая, что f x dx f c b a . Число
a
b
f x dx
f c a
b a
называют средним значением функции f x на отрезке a, b .

6.

§ 9. Геометрический и физический смысл определенного
интеграла
Y
y= f(x)
Пусть на отрезке a, b задана
непрерывная функция y f x 0 .
Криволинейной
трапецией
называют фигуру, ограниченную сверху
X
графиком функции y f x , снизу осью O a
b
OX, слева – прямой x a , справа –
Рисунок 5.3
прямой x b (рис. 5.3).
Определенный интеграл от непрерывной на отрезке a, b
функции y f x 0 равен площади криволинейной трапеции:
b
S f x dx .
a
Определенный интеграл от непрерывной на отрезке a, b
функции y f x 0 по абсолютному значению равен площади
криволинейной трапеции, но имеет отрицательное значение.

7.

Пусть материальная точка движется в одном направлении со
скоростью v f t , t - время. Тогда путь s, пройденный точкой с
момента t t1 до момента t t 2 , равен
t2
t2
t1
t1
s vdt f t dt .
Если сила F f x действует на материальную точку, движущуюся
вдоль оси X по направлению силы, то работа A силы F на участке
x1 , x2 равна
x2
x2
x1
x1
A Fdx f x dx .

8.

§ 10. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Значение определенного интеграла равно разности
значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых
при верхнем и нижнем пределах интеграла:
b
f x dx F b F a F x a , F x f x .
b
a
Это равенство называют формулой Ньютона-Лейбница.
b
Пример. 3 x dx x
2
a
2
3 b
a
b3 a3 .
2
Пример. cos xdx sin x 0 sin
0
sin 0 1 0 1 .
2

9.

§ 11. Некоторые приложения определенного интеграла
Если функция y f x и ее производная y ' f ' x непрерывны
на отрезке a; b , то длина l кривой AB равна
b
b
a
a
2
l 1 f x dx dl .
В полярных координатах r и , ; имеем
b
b
a
a
l r 2 r 2 d dl .
Если известна площадь S x сечения тела, перпендикулярного
оси OX и ограниченного плоскостями слева x a и справа x b , то
объем тела равен
V S x dx dV .

10.

Объем тела вращения вокруг оси OX, ограниченного кривой
y f x и плоскостями слева x a и справа x b равен
b
b
a
a
V S x dx y 2 dx .
Площадь поверхности тела вращения вокруг оси OX,
ограниченного кривой y f x и плоскостями x a и x b равна
b
S 2 y 1 y 2 dx .
a
Пример. Прямой цилиндр радиуса R и высотой h расположен
параллельно оси OX, причем ось симметрии цилиндра совпадает с
осью OX. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.
b
h
h
S 2 y 1 y 2 dx 2 R 1 0 dx 2 R dx 2 Rx 0 2 Rh
h
a
0
0