Дифференциальные уравнения первого порядка

1.

15. Дифференциальные уравнения
15.1 Понятие ДУ 1-го порядка
ДУ 1го порядка — это уравнение вида
F ( x, y, y ) 0
Решение ДУ -- это функция, которая удовлетворяет этому ДУ.
Общее решение ДУ выражается формулой y ( x, C )
Общий интеграл ДУ выражается формулой ( x, y , C ) 0
Задача Коши: Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальному условию:
y f ( x, y )
y( x0 ) y 0
Решение, полученное из общего при конкретном значении С,
называется частным решением (частным интегралом).
График решения ДУ --- интегральная кривая.

2.

Пример. Найти решение уравнения y yx,
удовлетворяющее начальному условию: a ) y (0) 1, b) y(0) 0
dy
dy
yx,
x d x,
dx
y
2
x
dy
ln
|
y
|
C
,
x
d
x
,
y
2
x2
C
| y | e 2
x2
| y | Ce 2 , C 0
x2
2
y Ce , C любое
1
0
x2
y (0) Ce0 1 C y* e 2
y (0) Ce0 0 C y* 0

3.

ДУ 1-го порядка разрешенное относительно
производной: y f ( x; y ),
ДУ 1-го порядка в дифференциальном виде:
P( x; y ) d x Q( x; y ) d y 0
15.2 ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными
— это ДУ которые приводятся к виду:
P( x) d x Q( y ) d y
Решение :
P( x) d x Q( y ) d y C
Общий случай: P1 ( x) Q1 ( y) d x P2 ( x) Q2 ( y) d y 0
P1 ( x)
Q2 ( y )
Решение :
d x
d y С
P2 ( x)
Q1 ( y )

4.

ПРИМЕР 1. ( y xy) d x ( x xy) d y 0
y(1 x) d x x( y 1) d y
: xy, xy 0
Решим уравнение xy = 0:
1 x
y 1
dx
dy
x
y
1
1
1 d x 1 d y
x
y
Его решения: x = 0 и y = 0 не
входят в общее решение,
это особое решение.
x ln x y ln y C
ответ : x ln x y ln y C, x 0,
y 0

5.

ПРИМЕР 2.
dy
y
dx
x
y
y ;
x
y ( 4) 1
dy
dx
y
x
dy
dx
y
x
ln y ln x C
ln y ln x ln C *
C*
ln y ln
x
C*
yобщ
x
C*
y ( 4)
4
C*
1
4
4
C* 4 yчаст
x

6.

15.3. Однородные ДУ 1-го порядка
y
— это ДУ которое приводится к виду y f
x
Решение: замена переменной:
y
u y u' x u
x
2
ПРИМЕР 1.
y
y
y 1
x
x
u'x u 1 u 2 u d u x 1 u 2
dx
ln u 1 u 2 ln x ln C
du
1 u2
dx
x
y
y2
1 2 Cx
x
x
y x 2 y 2 Cx 2

7.

x y d x 2xy d y 0
ПРИМЕР 2.
2
2
y xu d y x d u u d x
x ( xu) d x 2x( xu) ( x d u u d x) 0
2
2
x 2 d x x 2u 2 d x 2 x 3u d u 2 x 2u 2 d x 0
x (1 u ) d x 2 x u d u
2
2
3
d u2 1
ln x
1 u2
C
x 2
u 1
dx
2u d u
x
1 t 2
ln x ln u 2 1 ln C
y2
C x 2 1
x
Cx 2 x 2 y 2

8.

15.4. Линейные ДУ 1-го порядка
— это уравнения вида
y p ( x) y q ( x)
Методы решения.
Метод Бернулли.
Подстановка
y u v
y u v y u v u v u v u v p ( x ) u v q ( x )
u v u v p( x) v q( x)
0
Метод Лагранжа.
v p ( x ) v 0
v*
*
u v * q ( x) u y u v
y p( x) y 0
y0 f 0 ( x) C
Далее постоянную С в полученном решении заменяем на
функцию С(х), которая находится подстановкой y(x) в
y p ( x) y q ( x)
уравнение

9.

ПРИМЕР 1. y 2 xy 4 x
y u v;
y u v u v
v
2 x
u
v 4x
u v u
u (v 2 xv)
v 2x v 0
0
dv
2 x v
dx
dv
v 2x d x
ln v x 2
v e
x2
u v 4x
u e x 4 x
2
du
x2
4x e
dx
du 4x e d x
u 2 e d x
x2
x2
u 2e C
x2
2
y u v 2e C e
y 2 C e
x2
x2
x2

10.

ПРИМЕР 2.
y 2 xy 4 x
y 2 xy 0
dy
2 xy
dx
dy
2x d x
y
ln y x 2 C
y C ( x) e
x2
y C ( x) e
C ( x) e
x2
C ( x) e
x2
y e
x2
C ( x) ( 2 xe
x2
x 2 C
y0 C e
)
x2
2 xe C( x) 2 xe C ( x) 4 x
x2
4x
C ( x) 4 x e
C ( x) 2 e d x 2e C
x2
2
x2
x2
C ( x) 4 x e d x
x2
y 2 C e
x2
x2

11.

y p ( x) y q ( x) y n
15.5. Уравнение Бернулли
y
Пример 1. y x y 2 y u v; y u v u v
x
u v x u v
2
1
1
u x u
x
x
u v
2
x u v
x
v
2
u v u v x u v
x
u v u v
2
du 1
1
x u2 2
dx x
x
du
du
2
u 2 d x
u
dx
dv
v
dx
x
v
v
0
x
dv
dx
v
x
1
ln v ln x v
x
1
1
1
x C x C u x C
u
u
1 1
1
y
y 2
x C x
x Cx

12.

Пример 2.
y
y x y 2
x
y 1
x
2
y
xy
z
1
1
z' 2
y
y
z
z' x линейное
x
z'
z
dz dx
0
ln z ln x C z Cx
x
z
x
z C ( x) x z' C' x C
Cx
C'x C
x
x
C' 1 C x C1
z x x C1
1
y
x x C1