Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

1.

Линейные
дифференциальные
уравнения первого порядка

2.

1. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением
(ДУ)?
Уравнение, содержащее производные искомой
функции или её дифференциалы.
2. Какие из следующих уравнений являются ДУ и почему?
1) 3 y 3
y
2
4
)
2
y
3y 0
2) yy 2 0 3) y y y
2
ds
5) 3t 2 t 1
dt
6) 2 x 2 3 х 0
3.Что значит решить ДУ?
Найти такую функцию, подстановка которой в это
уравнение обращает его в верное равенство.
4. Какое решение ДУ называется общим?
Решение, содержащее постоянную С.

3.

5. Определите порядок следующих ДУ:
1) y
2y
x2, x 0
x
2)
4) y y y
ds
3t 2 t 1
dt
3) y 3y y x
d 2s
5) 2 t 1
dt
6. Как называется уравнение вида: f x dx g y dy 0
Уравнение с разделёнными переменными
7. Как называется уравнение вида:f1 x g1 y dx f 2 x g 2 y dy 0
Уравнение с разделяющимися переменными

4.

Уравнение вида y P x y Q x , где P x и Q x
функции, называется линейным дифференциальным
уравнением первого порядка.
–
Уравнение называется линейным, так как искомая функция y и её
производная y’ входят в это уравнение в первой степени.
Линейное ДУ первого порядка называется однородным, если
функция Q x 0.
Линейное ДУ первого порядка называется неоднородным, если
функция Q x 0.

5.

Какие из данных уравнений являются линейными уравнениями
первого порядка, а какие нет и почему?
1)
y
2y
( x 1)3
x 1
2)
3)
4)
xy 5 y 10 x

6.

Линейное однородное ДУ первого порядка
Решите уравнение
y P x y 0
y y sin x 0
Решение:
y
dy
dx
(Выразите производную функции через дифференциалы)
dy
y sin x 0
dx
dy
y sin x
dx
dy
sin xdx
y
(Подставьте дифференциалы в данное уравнение )
dx
y
(Разделите переменные)
(Проинтегрируйте)
dy
y sin xdx
ln y cos x C
ln y cos x ln e ln C
y e cos x C
(общее решение)

7.

Линейное однородное ДУ первого порядка
Решите уравнение
Решение:
ln y ln x ln C
dy y
0
dx x
dy dx
y
x
y
0
x
ln y ln x C
dy
y
dx
dy y
dx x
y
dx
y
ln y ln x C
y Cx
(общее решение)
y P x y 0

8.

Линейное неоднородное ДУ y P x y Q x
(Метод Иоганна Бернулли)
3
Алгоритм:
Решите уравнение
1. Выполните замены в уравнении:
2. Вынесите за скобку
слагаемых:
U
из 2 и 3
3. Приравняйте скобку к 0
y
x
y x.
y U V
y U V V U
3
U V V U U V x
x
y
y
3
U V V U U V x
x
3
U V U V V x
x
3
V V 0
x
(***)

9.

3
V V 0
x
4. Решите однородное линейное ДУ первого порядка
dV 3V
0
dx
x
dV 3V
dx
x
dV 3dx
V
x
dV
dx
V 3 x
Выразите производную функции через дифференциалы
Разделите переменные
Проинтегрируйте
ln V 3 ln x C
ln V 3 ln x
V x3
С=0, ввиду произвольности в выборе
v

10.

Подставим
V x3
3
U x x
2
U x
В
(***)
1
x3
3
U V U V V x
x
0
5. Решите ДУ
dU
U
dx
dU
x 2
dx
1
dU 2 dx
x
dx
dU x 2
1
U C
x
Выразите производную функции через дифференциалы
dx
Разделите переменные
Проинтегрируйте
постоянную С писать обязательно
dx
1
x2 x C

11.

y U V
V x3
6. Запишите общий вид решения:
1 3
y C x
x
1
U C
x

12.

Домашнее задание
Решите уравнения:
1.
2.
yy 2 0,
y 0 2.
xy y x 2 cos x.
Ответ:
Ответ:
y 2 1 x.
y x sin x C .