Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

1.

Линейные
дифференциальные
уравнения первого порядка

2.

Опрос
1. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением
(ДУ)?
Уравнение, содержащее производные искомой
функции или её дифференциалы.
2. Какие из следующих уравнений являются ДУ и почему?
2
4
)
2
y
3y 0
1) 3 y 3 2) yy 2 0 3) y y y
2
y
ds
5) 3t 2 t 1
dt
6)2 x2 3х 0
3.Что значит решить ДУ?
Найти такую функцию, подстановка которой в
это уравнение обращает его в тождество.
4. Какое решение ДУ называется общим?
Решение, содержащее произвольную
постоянную С.

3.

Опрос
6. Что называется порядком ДУ?
Наивысший порядок производной
(дифференциала), входящих в уравнение.
7. Определите порядок следующих ДУ:
2y
y
x2 , x 0
x
y y y
ds
3t 2 t 1
dt 2
d s
t 1
2
dt
y 3 y y x
8. Какое уравнение называется ДУ первого порядка с
разделёнными переменными?
f x dx g y dy 0
Уравнение вида
9. Какое уравнение называется ДУ первого порядка с
разделяющимися переменными?
Уравнение вида
f1 x g1 y dx f 2 x g 2 y dy 0

4.

Уравнение вида y P x y Q x , где P x и Q x –
функции переменной
или постоянные величины, называется
линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнение называется линейным, так как искомая функция y и её
производная y’ входят в это уравнение в первой степени.
Линейное ДУ первого порядка называется однородным, если
функция Q x 0.
Линейное ДУ первого порядка называется неоднородным, если
функция Q x 0.

5.

Какие из данных уравнений являются линейными уравнениями
первого порядка, а какие нет и почему?
1)
y
2y
( x 1)3
x 1
2)
3)
4)
xy 5 y 10 x

6.

Линейное однородное ДУ первого порядка
y P x y 0
Решите уравнение
y y sin x 0
Решение:
y
dy
dx
(Выразите производную функции через дифференциалы)
dy
y sin x 0
dx
dy
y sin x
dx
dy
sin xdx
y
(Подставьте дифференциалы в данное уравнение )
dx
y
(Разделите переменные)
(Проинтегрируйте)
dy
y sin xdx
ln y cos x C (общее решение)
ln y cos x C ln e
1
ln y ln e
y e
cos x C
cos x C

7.

Линейное однородное ДУ первого порядка
y P x y 0
Решить уравнение
Решение:
ln y ln x ln C
dy y
0
dx x
dy dx
y
x
y
0
x
ln y ln x C
dy
y
dx
dy y
dx x
y
dx
y
ln y ln x C
y Cx
(общее решение)

8.

Линейное неоднородное ДУ y P x y Q x
(Метод Иоганна Бернулли)
Решить уравнение
y
Алгоритм:
3
y x.
x
1. Выполните замены в уравнении:
y U V
y U V V U
3
U V V U U V x
x
y
y
3
2. Вынесите за скобку U
U V V U U V x
x
3
U V U V V x
(***)
x
3. Прировняйте скобку к 0
3
V V 0
x

9.

3
V V 0
x
4. Решите однородное линейное ДУ первого порядка
dV 3V
Выразите производную функции через дифференциалы
0
dx
x
dx
dV 3V
Разделите переменные
V
dx
x
dV 3dx
V
x
dV
dx
3
V
x
Проинтегрируйте
ln V 3 ln x C
ln V 3 ln x
V x3
С=0, ввиду произвольности в выборе
v

10.

Подставим
V x3
3
U x x
U x 2
В
(***)
1
x3
3
U V U V V x
x
0
5. Решите ДУ
dU
U
dx
Выразите производную функции через дифференциалы
dU
x 2 dx
dx
dU x 2 dx Разделите переменные
2
dU
x
dx Проинтегрируйте
x 1
U
C
1
1
U C
x
постоянную С писать обязательно

11.

y U V
V x3
6. Запишите общий вид решения:
1
y C x3
x
1
U C
x

12.

Домашнее задание
Решите уравнения:
1.
2.
yy 2 0, y 0 2
2
xy y x cos x
Ответ:
Ответ:
y 2 1 x
y x sin x C