Лекция 27 Ряды Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора

1. Лекция 27. Ряды Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение элементарных функций. Тригонометрические ряды и

ряды Фурье.
Теорема Дирихле. Разложение четных и
нечетных функций в ряд Фурье. Ряд Фурье для
функций с произвольным периодом.
1

2.

Ряды Тейлора.
§ 1. Условия разложимости в ряд Тейлора.
Пусть функция f (x) бесконечное число раз
дифференцируема в окрестности точки x0 и
самой точке. Степенной ряд вида
f n x
0 x x n
0
n!
n 0
(1)
сопоставленный функции f (x) называется рядом
Тейлора.
2

3.

Если x0 0, то получаем степенной ряд вида:
f n 0
n
x
n 0 n!
(2)
называемый рядом Маклорена, сопоставленный
функции f (x) в точке 0.
Для радов Тейлора возможны три случая:
1) Ряд (1) расходится в точке x0.
2) Ряд (1) сходится в точке x0 и ее окрестности, но
f n x
n
0
x x0
f x
n!
n 0
3

4.

3) Ряд (1) сходится в точке x0 и ее окрестности,
причем функция, которой сопоставлен ряд,
совпадает с суммой ряда Тейлора:
f n x
n
0
f x
x x0
n!
n 0
Только в третьем случае говорят, что функция f (x)
разложима в ряд Тейлора (1).
Во всех остальных случаях функции f (x)
сопоставлен ряд Тейлора:
f n x
n
0
x x0
f x
n!
n 0
4

5.

Теорема (необходимое и достаточное условие
разложимости в ряд Тейлора). Пусть функция
f (x) определена и бесконечное число раз
дифференцируема в точке x0 и ее окрестности.
Для того, чтобы f (x) была разложима в ряд
Тейлора в точке x0 необходимо и достаточно,
чтобы остаточный член формулы Тейлора 0
при n , т.е. rn(x) 0 при n .
Доказательство. (Самостоятельно)
Замечание: Не путать остаточный член формулы
Тейлора rn(x) с остатком ряда Rn(x), т.к. это ряд:
f k x
0 x x k
Rn x
0
k!
k n 1
5

6.

Теорема (достаточное условие разложимости в
ряд Тейлора). Если функция f (x) определена в
точке x0 и ее окрестности, такова что:
1) бесконечное число раз дифференцируема в
точке x0 и ее окрестности;
2) все производные f (x) ограничены в
совокупности в окрестности точки x0, т.е. M > 0
для x окрестности точки x0, f (n)(x) < M,
M = 0,1,2,… . Тогда f (x) разложима в ряд Тейлора
в этой точке.
Доказательство. (Самостоятельно)
6

7.

§ 2. Связь степенных рядов и рядов
Тейлора.
Теорема (о связи степенных рядов и рядов
Тейлора). Всякий степенной ряд вида
n
a
x
x
n
0
n 0
на [a, b] (x0 – R; R + x0) является рядом
Тейлора для своей суммы.
Доказательство. (Самостоятельно)
7

8.

Теорема (о единственности разложения в
степенной ряд). Если функция f (x) разложима в
степенной ряд an x x0 , то это разложение
n
n 0
единственно на интервале сходимости.
Доказательство.
Пусть функция f (x) имеет два разложения:
n
a
x
x
n
0
n 0
è
n
b
x
x
n
0
n 0
По предыдущей теореме на интервале
сходимости любой степенной ряд является рядом
Тейлора для своей суммы на интервале
сходимости, т.е.
8

9.

an
n
f x
0
è
bn
n
f x
0
n!
n!
Но отсюда следует, что an = bn, значит разложение
единственно.
Ч.т.д.
§ 3. Разложение функций в ряд
Тейлора.
1. Находят все производные функции в точке x0.
f (n)(x), n = 0,1,2,…
2. Сопоставляют функции f (x) ряд Тейлора:
f n x
0 x x n
f x
0
n!
n 0
9

10.

3. Находят интервал сходимости полученного
f n x
ряда
0 x x n
0
n!
n 0
4. На интервале сходимости исследуют саму
функцию и все ее производные на
ограниченность в совокупности.
Если ограничение в совокупности имеет место, то
пишут, что
f n x
0 x x n
f x
0
n!
n 0
по достаточному условию разложимости в ряд
Тейлора.
10

11.

Разложение функции в точке x0 на практике
производится по известному разложению в ряд
Маклорена используют замену переменных.
Рассмотрим разложение функции ех в ряд
Маклорена.
ех определена х R.
(ех)(n) = ех, n = 0,1,2,…
f (0) = e0 = 1
1
xn
e x xn
n 0 n!
n 0 n!
Радиус сходимости степенного ряда:
n 1 !
an
R lim
lim
n an 1 n n!
11

12.

Таким образом, степенной ряд сходится при x.
Пусть h – некоторое число > 0. Следовательно, на
любом отрезке [-h ; h] множеству действительных чисел (ех)(h) < eh n, n = 0,1,2,…
Следовательно, ограниченность в совокупности
имеет место. Значит:
xn
f x
n 0 n!
х R.
12

13.

Пусть нужно функцию ех разложить в ряд по
степеням (х – 2), т.е. в точке x0 = 2.
Рассмотрим: ех = ех-2+2 = е2 ех-2.
Произведем замену: u = x – 2 в точке x0 = 2, u0 = 0.
Разложение в ряд Маклорена имеет вид:
un
e
u
n 0 n!
- сходится u R.
x 2 n
x
2
e
e
Тогда:
n 0
n!
- сходится х R.
На практике используют разложения:
13

14.

Таблица разложения элементарных функций
в ряд Тейлора.
Область сходимости (для всех):
- < x <
xn
ex
n 0 n!
n x
sin x 1
2n 1
n 0
2n 1 !
2n
n x
cos x 1
n 0
2n !
14

15.

Область сходимости (для всех):
x < 1.
2n 1
x
arctg x 1
2n 1
n 0
n 1
x
ln 1 x 1 n
n 1
n 0
1
n n
1 x
1 x n 0
m m 1 m n 1
1 x 1
m
n 1
n!
x
n
15

16.

Ряды Фурье.
§ 1. Ортогональность функции на отрезке.
Ортогональность тригонометрической
системы sin(mx), cos(mx), m = 1,2,…на [-π;π]
Определение (ортогональности). Система
функций {fn(x)}, n = 1,2,… интегрируемая на [a,b]
называется ортогональной на [a,b], если:
b
1) f
2
n
x dx A, n 1,2,
a
b
2) f n x f m x dx 0, при m n
a
16

17.

Докажем, что тригонометрическая система
функций: 1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x), …,
sin(mx), cos(mx) является ортогональной
на [- ; ]
1 1dx 2
1 cos(2mx)
x
dx
sin (mx)dx
2
2
2
1sin( 2mx)
4m
0
17

18.

1 cos(2mx)
x
dx
cos (mx)dx
2
2
2
1sin( 2mx)
, ïðè m
4m
cos(mx)
1 sin (mx)dx m
cos(m ) cos( m )
m
m
cos x cos( x) 0
18

19.

sin( mx)
1 cos (mx)dx m 0
Вспоминая, что
1
cos(mx) cos(nx) cos(m n) x cos(m n) x
2
1
sin( mx) sin( nx) cos(m n) x cos(m n) x
2
1
sin( mx) cos(nx) sin( m n) x sin( m n) x
2
19

20.

Пользуясь формулами, покажем:
1 cos(mx) cos(nx)dx
1
cos(m n) x cos(m n) x
2
1 sin( m n) x
1 sin( m n) x
0
2
m n
2
m n
Формула выводится в предположении, что m ≠n.
Т.к. sin целых чисел π=0 имеем =0
20

21.

Можно показать, что
sin( mx) sin( nx)dx 0, если m n
sin( mx) cos(nx)dx 0, при m, n
Т.о. 1) Интегралы от квадратов самих функций
=const
2) Интегралы от произведения двух
различных функций тригонометрической
системы равны 0
Значит, в соответствии с определением, тригонометрическая система ортогональна на [-π;π]
21

22.

§ 2. Понятие ряда Фурье. Связь
тригонометрических рядов и рядов Фурье.
Условия разложимости в ряд Фурье.
В дальнейшем, если не оговорено противное,
будем считать, что функция f (x) такова, что:
1) определена x R и 2 - периодична;
2) на периоде имеет лишь конечное число точек
разрыва первого рода (с конечным скачком);
3) в точках разрыва первого рода значения
функции равны полусуммам односторонних
22

23.

пределов в этих точках, т.е. если xi – точка
разрыва первого рода, то:
f xi 0 f xi 0
f xi
2
Функциональный ряд вида
a0
an cos nx bn sin nx
2 n 1
называется тригонометрическим рядом. Среди
тригонометрических рядов важное значение
имеют ряды Фурье.
23

24.

Определение (ряда Фурье).
Тригонометрический ряд
a0
an cos nx bn sin nx
2 n 1
называется рядом Фурье, сопоставленным
функции f (x), при этом пишут, что:
a0
f x an cos nx bn sin nx
2 n 1
если коэффициенты этого ряда вычисляются по
формулам:
24

25.

1
a0 f x dx
1
an f x cos nx dx
1
bn f x sin nx dx, n 1,2,
Коэффициенты a0, an, bn называются
коэффициентами Фурье.
Для ряда Фурье могут быть следующие
возможности:
1) расходится для x R;
2) сходится для x R, но не к функции f (x);
3) сходится для x R, причем к функции f (x).
25

26.

В третьем случае говорят, что функция f (x)
разлагается в ряд Фурье и пишут:
a0
f x an cos nx bn sin nx
2 n 1
Теорема (о связи тригонометрических рядов и
рядов Фурье). Всякий тригонометрический ряд
a0
an cos nx bn sin nx
2 n 1
сопоставленный функции f (x), равномерно
сходящийся для x R является рядом Фурье
этой функции.
Доказательство. (Самостоятельно)
26

27.

Теорема (о единственности разложения
функций в ряд Фурье). Если функция f (x)
раскладывается в ряд Фурье, то это разложение
единственно.
Без доказательства.
Теорема (об оценке коэффициентов ряда
Фурье). Если функция f (x) такова что:
1) разложима в ряд Фурье;
2) непрерывна для x R и 2 периодична
3) все производные этой функции до k-того
порядка включительно ограничены, т.е.
f (m)(x) < M, m = 0,1,2,…, k, x R.
Тогда для коэффициентов ряда Фурье справедлива
27

28.

следующая оценка:
M
an k ,
n
M
bn k
n
Без доказательства.
28

29.

§ 3. Достаточное условие разложимости
функции в ряд Фурье.
Теорема (о разложимости в ряд Фурье
непрерывных, 2π-периодичных функций).
Если функция f (x) такова что:
1) f (x) , 2π- периодична;
2) f (x) – непрерывна для х R , то она
раскладывается в ряд Фурье, равномерно
расходящийся к ней:
a0
f ( x) an cos nx bn sin nx
2 n 1
29

30.

Теорема (Дирихле). Если функция f (x) такова что:
1) определена для х R и 2π – периодична;
2) на периоде имеет лишь конечное число точек
разрыва первого рода x0 = -π <x1<x2<... < xn = π;
3) f(x) непрерывна на (xi , xi+1) ;
4) в точках разрыва
f ( xi 0) f ( xi 0)
f ( xi )
2
Тогда ряд Фурье этой функции сходится к ней.
Замечания: 1) на отрезке [a,b] (xi , xi+1)
между точками разрыва первого рода ряд Фурье
сходится к функции f(x) равномерно
2) Условия 2,3,4 называются условиями
Дирихле.
30

31.

§ 4. Разложение функций в ряд Фурье.
f(x) удовлетворяет всем условиям теорем
(разложимости в ряд Фурье)
Эти функции 2π-периодичны
Рассмотрим функцию, график которой имеет
вид:
31

32.

Найдем коэффициенты Фурье:
1
a0 f x dx
(1)
1
an f x cos nx dx
(2)
1
bn f x sin nx dx,
n 1,2,
(3)
Разложение функции в ряд Фурье:
a0
f x an cos nx bn sin nx
2 n 1
32

33.

Коэффициенты могут быть вычислены:
0
1
a0 f x dx f x dx
0
Подставляя вместо f (x) x и –x :
0
1
1
( x)dx xdx xdx xdx
0
0
0
Если сделать замену переменных:
1
1
{x t} ( t )d ( t ) xdx tdt xdx
0
0
0
0
2
2
2x
xdx
0
2 0
33

34.

Вычисляем коэффициенты an и bn :
1 0
an x cos(nx)dx x cos(nx)dx {x t}
0
1 0
t cos( tn )d ( t ) x cos(nx)dx
0
1
2 x sin( nx)
sin( nx)dx
n0
n
0
2
cos(nx)
2
2 [cos(n ) 1]
n 0 n
n
0
,
если
n
2
k
,
n
четное
2
an 2 [cos( n ) 1] 4
2 , если n 2k 1, k 1,2...
n
34
n

35.

1 0
bn x sin( nx) dx x sin( nx) dx {x t}
0
1 0
t sin( tn ) d ( t ) x sin( nx) dx
0
1
t sin( tn ) dt x sin( nx) dx 0
0
0
2
a0 ; an 2 [cos( n ) 1]; bn 0
n
4 cos( 2k 1) x
4
f x
cos( 2k 1) x
2
2
2 k 1 (2k 1)
2
(
2
k
1
)
k 1
Замечание: т.к. функция четная, то
разложение получается по cos, т.к. bn = 0.
35

36.

Разложение нечетной функции в ряд Фурье.
Функция удовлетворяет условиям теоремы
Дирихле. Функция 2π-периодична.
Коэффициенты вычисляются по формулам 1,2,3.
36

37.

2
1
1 x
a0 xdx
0
2
1
1 x sin( nx)
1
an x cos( nx)dx
sin( nx)dx
n
n
1
n
2
cos( nx)
0
1
1 x cos( nx)
1
bn x sin( nx)dx
cos( nx)dx
n
n
cos( n ) cos( n )
2
( 1) n
n
n
37

38.

2
f x ( 1) n 1 sin( nx)
n 1 n
Нечетная функция разлагается в ряд Фурье
только по sin.
Если функция 2π-периодична и четна, то она
раскладывается в ряд по cos, если нечетна, по sin
c
c
2 f x , если f ( x) f ( x) четна
c f x c
0, если f ( x) f ( x) нечетна
f (x) интегрируема на [-c;c]
Доказательство
38

39.

c
0
c
c
c
0
f x dx f x dx f x dx
0
c
c
0
x t f t d ( t ) f x dx
0
c
c
0
f t d (t ) f x d ( x)
c
2 f x dx, четная
0
0, если нечетная
Если функция 2π-периодична, четная,
разложима в ряд Фурье, то ряд для нее имеет
вид:
39

40.

a0
f x an cos nx
2 n 1
Пусть f (x) – четная, f (x) = f (-x).
Рассмотрим вспомогательные функции:
x f ( x) cos nx
x f ( x) sin nx
x f ( x) cos( nx) x
x f ( x) sin( nx) x
40

41.

a0
1
f ( x)dx f ( x)dx 0
1
1
0
2
f ( x) cos( nx)dx ( x)dx ( x)dx
an
2
2
0
f ( x) cos nxdx
0
bn
1
1
f ( x) sin( nx)dx ( x)dx 0
41

42.

Четная, 2π-периодичная функция
раскладывается в ряд Фурье, коэффициенты
которого a0 и an могут быть вычислены:
a0
2
f
(
x
)
dx
0
2
an f ( x) cos nxdx
0
42

43.

Если f (x) – нечетная, 2π-периодична и
раскладывается в ряд Фурье, то:
f x bn sin( nx) , где bn
n 1
2
f ( x) sin( nx)dx
0
Доказательство самостоятельно
43

44.

§ 5. Минимальное свойство коэффициентов
Фурье.
Пусть f (x) задана на промежутке (-π;π) и
интегрируема вместе со своим квадратом.
Приблизим f (x) к тригонометрическим
n
многочленам f x 0 ( k cos( kx) k sin( kx))
2 k 1
Оценим ошибку, допускающую при таком
приближении
2
0
f ( x) ( k cos( kx) k sin( kx)) dx 0
2 k 1
2
п
1
n
44

45.

Раскроем квадрат подынтегральной функции:
0 2
0 n
( f ( x) ) 2( f ( x) ) ( k cos( kx) k sin( kx))
2
2 k 1
n
[ k cos( kx) k sin( kx)]
2
k 1
Раскроем квадраты получившихся выражений:
2
n
2
f 2 ( x) 0 f ( x) 0 2 ( k f ( x) cos( kx) k f ( x) sin( kx))
2
4
k 1
2 0 n
[ k cos( kx) k sin( kx)]
2 k 1
n
[ k2 cos 2 (kx) k2 sin 2 (kx) n ( x)]
k 1
, где
45

46.

σn(x) содержит произведение:
cos(kx)·cos(mx), k ≠ m
cos(kx)·sin(mx),
sin(kx)·sin(mx), k ≠ m
Проинтегрируем полученное выражение в
пределах –π;π и разделим интеграл, в результате
получим:
46

47.

2 0
[ f ( x)
f ( x)
2
4
1
2
п
2
0
2
n
2 ( k f ( x) cos( kx) k f ( x) sin( kx))
k 1
2 0 n
( k cos( kx) k sin( kx))
2 k 1
n
( k2 cos 2 (kx) k2 sin 2 (kx)) n ( x)]dx
k 1
a0
1
ak
xdx
;
1
1
x cos(kx)dx; b x sin( kx)dx
k
47

48.

В силу ортогональности тригонометрических
функций и коэффициентов Фурье, имеем:
n
1
п2 f 2 ( x)dx 0 a0 2 ( k ak k bk )
02
k 1
n
0 ( k2 k2 ) 0
2
k 1
К полученному выражению добавим и отнимем
a0 n 2 2
(ak bk ) , в результате получаем:
2 k 1
48

49.

п2
2
0
n
k 1
1
2
f
( x)dx 0 a0 2 ( k ak k bk )
2
0
2
0
n
n
n
a
a
2
2
2
2
2
2
( k k ) (ak bk ) (ak bk )
2
2
2 k 1
k 1
k 1
Воспользовавшись формулами разности
квадратов, имеем:
2
0
n
a
2
2
2
2
п f ( x)dx (ak bk )
2 k 1
1
(a0 0 )
2
2
( k ak ) ( k bk )
2
k 1
2
n
*
49

50.

Выражение * принимает минимальное
значение, когда коэффициенты
тригонометрического полинома являются
коэффициентами разложения в ряд Фурье:
0 a0 ; k ak ; k bk
Это свойство – минимальное свойство
коэффициентов Фурье.
При этом погрешность:
2
п
1
2
0
n
f ( x)dx
(a b ) 0
2
2
k 1
2
k
2
k
50

51.

Если надо уменьшить погрешность
приближения, нужно лишь посчитать
коэффициенты an+1 , bn+1 , все предыдущие
коэффициенты являются уже посчитанными и
берутся без изменения:
2
0
n
a
1
2
2
2
(ak bk ) f ( x)dx
2
k 1
монотонно возрастает и ограничена
кривой частью неравенства.
2
n
1
Значит ряд a0
2
2
2
S ( n)
-сходящийся
2
(ak bk )
k 1
f ( x)dx
51

52.

Из сходимости интеграла следует: an →0,
bn →0.
Можно доказать, что для коэффициентов Фурье
выполняются условия замкнутости:
2
0
n
a
1
2
2
2
(ak bk ) f ( x)dx
2 k 1
52

53.

§ 6. Разложение 2l-периодических функций в
ряд Фурье.
Пусть f (x) определена х R и
1) f (x + 2l) = f (x);
2) f (x) удовлетворяет всем условиям
разложимости в ряд Фурье.
Тогда можно показать, что 2l-периодические
функции могут быть разложены в ряд Фурье.
a0
n
n
f ( x) (an cos( x) bn sin(
x))
2 n 1
l
l
53

54.

1
n
an f ( x) cos( x)dx, n 0,1,2...
l l
l
l
1
n
bn f ( x) sin( x)dx
l l
l
l
Доказательство
Сделаем у функции f (x) замену переменных:
x
l
, тогда вместо функции f (x) получаем
функцию:
l
f ( x) f ( ) ( )
54

55.

При этом, т.к. l x l , то меняется в
пределах . С помощью замены
переменных функцию на отрезке [-l; l]
переводили в функцию, определенную на
отрезке [ ; ]. Т.к. f (x) 2l-периодична, то
l
f ( x 2l ) f ( 2l )
l
f ( ( 2 )) ( 2 )
l
С другой стороны: f ( x) f ( ) ( )
55

56.

Т.о. видно, что замена переменных приводит 2lпериодическую функцию в 2π-периодическую
функцию. При этом условие разложения в ряд
Фурье выполняются. Значит:
a0
( ) (an cos(n ) bn sin( n ))
2 n 1
1
где: an ( ) cos( n )d
bn
1
( ) sin( n )d
56

57.

l
( ) f ( ) , то коэффициенты an и bn
Т.к.
вычисляются по формулам:
an
1
l
f ( ) cos( n )d
bn
1
l
f ( ) sin( n )d
Т.к.
l
(1)
x
x
l
; d
l
dx
С учетом этого формулы (1) перепишутся
следующим образом:
57

58.

n x
an f ( x) cos
dx
l
l l
1
l
1
n x
f ( x) cos
dx
l l
l
l
(2)
1
n x
bn sin
dx
l l
l
l
С учетом формул (2) ряд Фурье для функций
f(x) имеет вид:
a0
n
n
f ( x) (an cos( ) bn sin(
))
2 n 1
l
l
58

59.

Ряды Фурье 2l- периодических функций
обладают теми же свойствами, что и ряды
Фурье 2π-периодических функций. Условия
разложимости в ряд формулируются также как
и для 2π-периодических, с той разницей, что 2π
меняется на 2l.
59

60.

§ 7. Разложение в ряд Фурье функций,
заданных на отрезке [0; l].
Эти функции можно раскладывать в ряды Фурье
по sin, продолжив их нечетным образом на
отрезок [-l ; 0] и с периодом 2π на все множество
R.
К построенной функции применить формулу
для разложения в ряд Фурье 2l-периодической
функции. Полученным разложением можно
пользоваться только на этом отрезке, т.к. вне
этого отрезка это уже другая функция.
60

61.

Пусть f (x) такова, что:
x;0 x 1
f ( x)
1;1 x 2
Функция задана на [0;2]
Разложим функцию в ряд Фурье по sin. При
этом в точках разрыва первого рода, значения
функции должны положить = 0.
Для того, чтобы получить разложение,
пользуемся тем, что функция нечетная,
получим:
61

62.

n
f ( x) (bn sin
x)
2
n 1
1
n
bn f ( x) sin
xdx
2 l
2
l
n
f ( x) sin
xdx
2
0
2
Находим коэффициенты:
62

63.

n
n
bn x sin
xdx 1 sin
xdx
2
2
0
1
1
2
2
n
2
n
x
cos
x
cos
xdx
n
2 0 n 0
2
1
1
2
n
2
n
(
cos
x )
cos
n
2 1
n
2
2
1
n
2
2
n
2
x
cos n
cos
sin
2
n
n
2
n
0
2
n
2
2
bn
x
cos n
sin
2
n
n
2
63

64.

Ряд Фурье для функции f (x):
2 2
n
2
n
n
f ( x)
sin
( 1) sin
x
2 n
2
n 1 n
Для того, чтобы функцию разложить по cos,
нужно продолжить её на отрезок [-l ; 0] четным
образом и периодически продолжить с
периодом 2l на всю числовую ось. Тогда
разложение в ряд имеет вид:
a0
n
f ( x) (an cos x)
2 n 1
l
64

65.

2
n
an f ( x) cos
xdx
l 0
l
l
Этим разложением в ряд Фурье можно
пользоваться на отрезке [0 ; l], т.к. вне отрезка
ряд сходится к другой функции.
Если задана функция на произвольном отрезке
[a;b]. Разложить в ряд Фурье.
На всю числовую ось функцию продолжить как
2l-периодическую
65

66.

a0
n
n
f ( x) (an cos x bn sin
x)
2 n 1
b
b
an и bn – вычисляются как коэффициенты 2lпериодической функции.
Случай, когда функция задана на отрезке a, b
шириной c.
66

67.

Функцию надо продолжить периодически.
Функция удовлетворяет всем условиям
разложения в ряд
a0
2n x
2n x
f ( x) (an cos
bn sin
)
2 n 1
c
c
b
2
2n x
an f ( x) cos
dx
ca
c
2
2n x
bn f ( x) sin
dx
ca
c
b
Этим разложением можно пользоваться только
на [a;b]
67

68.

Можно строить ряды Фурье по функциям,
которые обладают определенными свойствами.
Пусть имеется система функций f1 , f2 ,…, fn ,
определенная на [a;b]. Предполагая, что {fn} –
интегрируема на [a;b], определим скалярное
произведение функций:
b
( f n f k ) f n ( x) f k ( x)dx
a
Система функций { fn (x)} называется
ортонормированной, если для 2х функций
этой системы:
68

69.

1, k m
( fn fk )
0, k m
Рассмотрим f (x), заданную на [a;b] и по
аналогии с тригонометрическими рядами
Фурье сопоставить ряд по ортонормированной
(произвольной) системы функций.
Если найти числа
b
( f , n ) f ( x) n ( x)dx
a
то f (x) можем сопоставить ряд
69

70.

( f , ) ( x) - называется рядом Фурье по
n 1
n
n
ортонормированной системе функций.
Коэффициенты, которые стоят при функции n (x)
называются коэффициентами Фурье.
Когда построенный ряд сходится к f (x) на [a;b] и
его сумма равна f (x), говорят, что функция f (x)
разложима в ряд Фурье по ортонормированной
системе функций.
При этом пишут:
f ( x) ( f , f n ) f n ( x)
n 1
70

71.

Коэффициенты рядов Фурье, построенных по
ортонормированной системе функций, обладают
свойствами, аналогичными свойствам
коэффициентов Фурье тригонометрической
системы функций. Они обладают свойством
минимальности, которое заключается в
следующем:
Если f (x) разложить на [a;b] в ряд, f ( x) an n ( x)
n 1
то наименьшее отклонение f (x) от частичной
n
суммы, т.е. разность вида
f ( x ) ak k ( x )
k 1
71

72.

Будет только в том случае, если коэффициент
ak , есть коэффициент Фурье, т.е.
ak ( f , k ) - скалярное произведение.
72