приложение определенного интеграла в геометрии (12 класс)

1. Проект на тему: приложение определенного интеграла в геометрии

Подготовили ученики 12 «А» класса:
Война Анатолий,
Досан Филипп,
Козловский Андрей,
Хобенко Мария

2. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Решим задачу о вычислении площади
фигуры, ограниченной графиком
функции y f x, отрезками прямых
x a, x b и осью Ox.Такую фигуру
называют криволинейной трапецией
a
xi 1 xi
b

3. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Разобьем отрезок a, b на n частей
точками a x0 , x1, x2 ,..., xi 1, xi ,..., xn b .
При этом криволинейная трапеция разобьется
на n элементарных криволинейных
трапеций. Заменим каждую такую
криволинейную трапецию прямоугольником с
основанием xi xi xi 1 , где i 1,2,.., n и
высотой h f xi , где xi -произвольно
выбранная внутри отрезка xi 1, xi точка.

4. Примеры

Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y x 2 2x 3 и
y x 2 1

5. Продолжение

Получим
S x 2 x 3 x 1 dx 2 x
1
2
1
2
1
x
x
2 x x 2 dx 2
2x
3
2
2
2
1
2
3
2
1 1
8
8 4
1 1
2 2 4 2 2 6
3
3 2
3 2
3 2
1
9
2 3 8 2 9
2
2
2 x 4 dx
2
2
2

6. Примеры

x2 y2
2 .1
Найти площадь эллипса
2
a
b
Параметрические уравнения эллипса
x a cos t , y b sin t.
0
S 4 b sin t ( a sin t )dt
/2
у
/2
b
х
о
a
/2
4ab sin tdt 4ab
2
0
0
1 cos 2t
dt
2
1
1
/2
4ab(t sin 2t ) 0 2ab ab.
2
2
2

7. Вычисление объема тела вращения

y x2
y
y
1
А
0
1
Рис. 14
x
Искомый объем
можно найти как
разность объемов,
полученных
вращением вокруг
оси Ox
криволинейных
трапеций,
ограниченных
линиями y x и
y x
2

8. Решение

Тогда
1
x dx x dx
1
Vx
2
0
1
1
0
2 1
x
xdx x dx
2
0
0
4
3
2 5 10
0
2 2
5 1
x
5
0