Возможные значения энергии в глубокой прямоугольной яме. Уравнение Шрёдингера

1.

Найти возможные значения энергии в глубокой прямоугольной яме
Уравнение Шрёдингера
U ( x)
2
ˆ
p
Hˆ
2m
En ?
pˆ 2
n x En n x , a x a
2m
Граничные условия?
a
a x

2.

Граничные условия
Если волновая функция при x a не обращается в ноль, то
U dx n x
2
Но
pˆ 2
E dx x
U ( x) n x En 0
2m
n
pˆ 2
dx x 2m n x !!!
n
Возникает противоречие, которое разрешается с помощью условия
n x 0,
x a
Или
n x a 0

3.

Уравнение Шрёдингера
2
2
k
x k 2 x 0, E
2m
Общее решение
x A cos kx B sin kx
+ граничные условия
Поступим иначе
Найти коммутатор
Hˆ , Iˆ ?

4.

Коммутатор
Hˆ , Iˆ 0
Собственные функции гамильтониана должны быть собственными функциями оператора
чётности!
Явный вид собственных функций гамильтониана?

5.

Явный вид собственных функций гамильтониана
Нечётные
Чётные
x A cos kx
x A sin kx
Граничные условия?

6.

Граничные условия
Достаточно использовать граничные условия только с «одной стороны»!
Чётные
Нечётные
x a A cos ka 0
x a A sin ka 0
( )
n
k a
E
( )
n
2
2n 1
2
2
2ma
2n 1
2
4
kn( ) a n
2
En( )
2
2ma
Найти нормировку волновых функций?
2 2
n
2

7.

Нормировка волновых функций
1
A
a
Фазовый множитель?
Классификация уровней
n 0 x A sin kn 0 x 0
En( 0) En( 1)
нечётного уровня с n=0 нет!