Уравнения Максвелла. Волновое уравнение Гельмгольца

1. Уравнения Максвелла

B
t
D
H J
t
B 0
Ε
E – напряженность электрического поля [вольт/м]
H – напряженность магнитного поля [ампер/м]
D – электрическая индукция [кулон/м2]
B – магнитная индукция [вебер/м2]
J – поверхностная плотность электрического тока [ампер/м2]
– объемная плотность электрического заряда [кулон/м3]
D
i
j k
x y
z
---------- векторные и скалярные функции
времени t и пространственных координат r=(x,y,z)
J
0
+ уравнение непрерывности
t
+ система материальных уравнений D D(E) , B B(H) , J J (D)
для линейной изотропной однородной среды:
D E
B H
J E
– электрическая проницаемость [фарад/м]
– магнитная проницаемость [генри/м]
– удельная электрическая проводимость [сименс/м]

2. Уравнения Максвелла для диэлектриков

B
Ε
(1)
t
D
H
( 2)
t
B 0 (3)
D E (5)
D 0 (4)
B H (6)
r , r
1
0
0
r , r – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости,
0, 0 – параметры свободного пространства:
0
n r
1
12
7
8
.
854
10
,
4
10
0
36 109
- показатель преломления среды

3. Вывод волнового уравнения

(1), (6) :
B
H
Ε
t
t
домножим векторно на и используем (2) и (5):
H
D
Ε
H
t
t
t t
2
2E
2 E 2
t
t
используя свойство:
F ( F) 2F
получаем:
2
E
2
Ε Ε 2
t
E
Ε 2
t
2
E
E 2 0
t
2
2
для однородной среды

4. Вывод волнового уравнения

электрический и магнитный
вектора удовлетворяют
волновым уравнениям:
2
E
2E 2 0
t
2
H
2
H 2 0
t
S = E H
Каждая компонента электромагнитного поля удовлетворяет
скалярному волновому уравнению:
1 ( x, y , z , t )
( x, y , z , t ) 2
0
2
t
2
2
c
1
1
0 0
– скорость волны в среде
– скорость волны в вакууме
n
0 0
c

5. Монохроматическая волна

Постоянные гармонические по времени (монохроматические) поля
имеют определенный вид временной зависимости:
( x, y, z, t ) ( x, y, z ) exp( i t i )
=2 – частота излучения
– начальная фаза
После взятия производной по времени для каждой компоненты
уравнения Максвелла упрощаются:
E i H
E 0
H i E
H 0

6. Волновое уравнение Гельмгольца

Подставим в волновое уравнение монохроматическую волну
2 1
2 2 ( x, y, z, t ) 0 :
t
2
2
2
2
2 2 2 2
x y z
2 1 2
2 2 ( x, y, z ) exp(i t i )
t
2
1
exp(i t i ) 2 ( x, y, z ) ( x, y, z ) 2 2 exp(i t i )
t
1
2
2
exp(i t i ) ( x, y, z ) ( x, y, z ) 2 i 0
2 2
2 ( x, y, z ) 0

7. Волновое уравнение Гельмгольца

2 2
2 ( x, y, z ) 0
2
k
- волновое число света
(для оптических волн ~ 106-107 )
k ( x, y, z) 0
2
2
0
n
- длина волны в среде
- волновое уравнение Гельмгольца
описывает распространение пространственной
части монохроматической волны
- фазовая скорость монохроматической гармонической волны
k
g
k
- групповая скорость квазимонохроматической волны + ,
>>