Волновые уравнения

1. Модуль 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Лекция №3. Волновые уравнения

1. Волновые уравнения произвольной
электромагнитной системы источников.
Уравнения Гельмгольца.
2. Решение системы уравнений Максвелла для
свободного пространства.
Электромагнитные поля и волны. Л.3
1

2. 1 Волновые уравнения произвольной электромагнитной системы источников. Уравнения Гельмгольца

Электромагнитные волны – это электромагнитные поля, существующие в
пустоте при отсутствии зарядов.
Для описания распространения электромагнитных волн применяются волновые
уравнения.
Волновое уравнение - уравнение волны в дифференциальной форме.
1 2s
2
s
s
s
1
s
В декартовой системе координат:
или S v 2 t 2
где
2s 2s 2s
S 2 2 2
x
y
z
2
2
2
2
x 2
y 2
z 2
2
v 2 t 2
- оператор Лапласа (лапласиан) или набла квадрат.
В произвольной системе координат Лапласиан определяется выражением:
2 a grad div a rot rot a
Электромагнитные поля и волны. Л.3
2

3.

э
rot H j
D
t
Преобразуем первое уравнение Максвелла
,
э
используя закон Ома j E и материальное уравнение D 0 E .
Поскольку параметры среды не зависят от времени, то получаем
э
rot H j
D
E
E 0
t
t
Применим операцию rot к правой и левой частям:
rotrot H rot E 0
(rot E )
t
B
H
Учтем из второго уравнения Максвелла rot E 0
,
t
t
получаем
H
2 H
rotrot H 0
0 0 2
t
t
Электромагнитные поля и волны. Л.3
3

4.

Учтем
rot rot H grad div H 2 H
и
получим
2 H
H
H a a 2 a
0
t
t
2
(1)
Аналогичным образом преобразуется второе уравнение к виду
2 E
E
E a a 2 a
0
t
t
2
(2)
Уравнения (1) и (2) называют векторными обобщенными
однородными волновыми уравнениями.
Электромагнитные поля и волны. Л.3
4

5.

Разновидности волновых уравнений
1. Векторные однородные волновые уравнения для идеального
диэлектрика ( 0 )
или
где
2
H
2 H a a 2 0
t
2 H
2
H
c
c
2
1
0 0
t
2
0
3 108
2
E
2 E a a 2 0
t
2 E
2
E
c
2
t
2
0
[м/с] - скорость света.
2. Векторные неоднородные уравнения (уравнения Даламбера)
2 H
2 H
c 2 t 2
2 E
rot j
2 E
c 2 t 2
В среде без потерь ( 0 )
2 H
H
2
c 2 t 2
rot j
ст
2 E
2 E
c 2 t 2
1
0
Электромагнитные поля и волны. Л.3
grad 0
1
0
j
t
ст
grad ст
j
0
t
5

6.

В среде без потерь ( 0 )
H
2
2 H
c 2 t 2
rot j
ст
2 E
E
2
c 2 t 2
1
0
ст
grad ст 0
j
t
3. Уравнения Пуассона (отсутствует временная зависимость).
Пренебрежение токами смещения.
2 H rot j
ст
2 E ( 0 ) 1 grad ст
Основные понятия векторной алгебры: 2 a grad div a rot rot a
div grad 2
Лапласиан в декартовой системе координат:
2
2
2
2
- для скаляра
2 2 2
x
- для вектора
y
z
2 a ix 2 a x i y 2 a y iz 2 a z
Электромагнитные поля и волны. Л.3
6

7.

4. Уравнения Гельмгольца (для гармонических сигналов)
- неоднородные:
ст
H m (r ) H m (r ) rot j m (r )
c
2
ст
i
2
ст
E m (r ) E m (r )
grad m (r ) i 0 j m (r )
0
c
2
2
- однородные:
2 H m (r ) ( ) 2 H m (r ) 0
c
2 E m (r ) ( ) 2 E m (r ) 0
c
Электромагнитные поля и волны. Л.3
7

8.

2 Решение системы уравнения Максвелла
для свободного пространства
Решение получим на основе однородного волнового уравнения.
Будем полагать, что волна является плоской, т.е. процесс зависит только от
времени t и расстояния r от точки источника ЭМВ до точки наблюдения,
отсчитываемого в направлении распространения волны.
Волновое уравнение имеет вид: u 1 u 0 или c c u 0
2
2
x 2
Введем переменные:
t
x
c
и
t
t
c2 t 2
x
c
x t
. Связь с исходными
Волновое уравнение в новых переменных:
t
x
2
и
x c
2
2u
0
Решение для него: u( , ) f1 f 2
r
r
или
u ( x, t ) f x f x
1
c
2
c
Физическая трактовка – две волны, распространяющиеся
в противоположных направлениях.
Электромагнитные поля и волны. Л.3
8

9.

Для точечного источника в сферической системе координат
2v 1 2v
2 2 0
2
r
c t
Решение волнового уравнения точечного источника имеет вид:
1 x r 1 x r 1 r 1 r
u ( x, t ) f1 f 2 f1 t f 2 t
2 c c r c c 2 c r c
где
r
f1 t - волна, которая распространяется со скоростью c
c от центра возмущения в бесконечность
(расходящаяся волна) – удовлетворяет условию
излучения.
1 r
f 2 t - волна, которая движется с той же скоростью из
r c бесконечности к центру (сходящаяся волна) –
не удовлетворяет условию излучения.
1
2
Решение – совокупность сферических волн, т.е. волн, у которых волновые
поверхности сферы.
Характерная особенность функций, описывающих волновые процессы –
зависимость от расстояния в фиксированный момент времени
повторяет характер зависимости от времени в фиксированной точке
пространства (рисунок слайда 8). Математически описается наличием
множителя f (t r ).
9
c
Электромагнитные поля и волны. Л.3

10.

Для гармонических волновых уравнений (уравнений Гельмгольца)
Введем параметр
k
c
2p
2 E m (r ) ( ) 2 E m (r ) 0
c
2 H m (r ) ( ) 2 H m (r ) 0
c
, называемый волновое число.
Физический смысл волнового числа – пространственный период изменения
функции, при котором аргумент периодической функции изменяется на 2p.
Пространственный период или путь, проходимый волной за период колебания,
называется длиной волны .
Для доказательства удовлетворения уравнениям Максвелла используем критерий
- удовлетворение 3 и 4 уравнениям Максвелла.
0 div E div E 0 exp[i( t k r )] i k E
0 div H div H 0 exp[i( t k r )] i k H
Равенство нулю означает, что E k и H k . Кроме того, несложно установить, что
E H . Для этого выражения поставим в первые два уравнения Максвелла.
В результате имеем: E 1 [k H ] H 1 [k E ]
0
0
Умножив попеременно данные уравнения на
противоположный вектор, получим: E H 0
Физический смысл: векторы E , H и k
взаимно перпендикулярны и образуют правую
тройку.
Электромагнитные поля и волны. Л.3
10