Лекция №3 (3 ). Волновые уравнения электродинамики

1. Тема 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Лекция №3 (3). Волновые уравнения

1. Волновые уравнения произвольной
электромагнитной системы источников.
Уравнения Гельмгольца.
2. Решение системы уравнений Максвелла для
свободного пространства.
Электродинамика и РРВ.Сем.1. Лекция 3(3).
1

2. 1 Волновые уравнения произвольной электромагнитной системы источников. Уравнения Гельмгольца

э
rot H j
D
t
Преобразуем первое уравнение Максвелла
,
э
используя закон Ома j E и материальное уравнение D 0 E .
Поскольку параметры среды не зависят от времени, то получаем
э
rot H j
D
E
E 0
t
t
Применим операцию rot к правой и левой частям:
rotrot H rot E 0
(rot E )
t
B
H
Учтем из второго уравнения Максвелла rot E 0
,
t
t
получаем
H
2 H
rotrot H 0
0 0 2
t
t
Электродинамика и РРВ.Сем.1. Лекция 3(3).
2

3.

Учтем
rot rot H grad div H 2 H
и
получим
2 H
H
H a a 2 a
0
t
t
2
(1)
Аналогичным образом преобразуется второе уравнение к виду
2 E
E
E a a 2 a
0
t
t
2
(2)
Уравнения (1) и (2) называют векторными обобщенными
однородными волновыми уравнениями.
Электродинамика и РРВ.Сем.1. Лекция 3(3).
3

4.

Разновидности волновых уравнений
1. Векторные однородные волновые уравнения для идеального
диэлектрика ( 0 )
или
где
2
H
2 H a a 2 0
t
2 H
2
H
c
c
2
1
0 0
t
2
0
3 108
2
E
2 E a a 2 0
t
2 E
2
E
c
2
t
2
0
[м/с] - скорость света.
2. Векторные неоднородные уравнения (уравнения Даламбера)
2 H
2 H
c 2 t 2
2 E
rot j
2 E
c 2 t 2
В среде без потерь ( 0 )
2 H
H
2
c 2 t 2
rot j
ст
2 E
2 E
c 2 t 2
1
0
grad 0
1
0
j
t
ст
grad ст
Электродинамика и РРВ.Сем.1. Лекция 3(3).
j
0
t
4

5.

В среде без потерь ( 0 )
H
2
2 H
c 2 t 2
rot j
ст
2 E
E
2
c 2 t 2
1
0
ст
grad ст 0
j
t
3. Уравнения Пуассона (отсутствует временная зависимость).
Пренебрежение токами смещения.
2 H rot j
ст
2 E ( 0 ) 1 grad ст
Основные понятия векторной алгебры: 2 a grad div a rot rot a
div grad 2
Лапласиан в декартовой системе координат:
2
2
2
2
- для скаляра
2 2 2
x
- для вектора
y
z
2 a ix 2 a x i y 2 a y iz 2 a z
Электродинамика и РРВ.Сем.1. Лекция 3(3).
5

6.

4. Уравнения Гельмгольца (для гармонических сигналов)
- неоднородные:
ст
H m (r ) H m (r ) rot j m (r )
c
2
ст
i
2
ст
E m (r ) E m (r )
grad m (r ) i 0 j m (r )
0
c
2
2
- однородные:
2 H m (r ) ( ) 2 H m (r ) 0
c
2 E m (r ) ( ) 2 E m (r ) 0
c
Электродинамика и РРВ.Сем.1. Лекция 3(3).
6

7.

2 Решение системы уравнения Максвелла
для свободного пространства
Решение получим на основе однородного волнового уравнения.
Будем полагать, что волновой процесс зависит только от времени t
и расстояния r от точки источника ЭМВ до точки наблюдения,
отсчитываемого в направлении распространения волны). Пусть
данное направление будет совпадать с2 осью Ox.
2
u
1
Тогда имеем волновое уравнение вида: 2 2 u2 0
x
Решение уравнения имеет вид:
c t
x r
x r
u ( x, t ) f1 f 2
c c
c c
Для точечного источника в сферической системе координат имеем
2v 1 2v
2 2 0
2
r
c t
Электродинамика и РРВ.Сем.1. Лекция 3(3).
7

8.

Решение волнового уравнения точечного источника имеет вид:
u ( x, t )
где
1 x r
f1
2 c c
1 x r 1 x r
f1 f 2
2 c c r c c
- волна, которая распространяется со скоростью c
от центра возмущения в бесконечность
(расходящаяся волна) – удовлетворяет условию
излучения.
1 x r
f 2 - волна, которая движется с той же скоростью из
r c c
бесконечности к центру (сходящаяся волна) –
не удовлетворяет условию излучения.
Для гармонических сигналов:
Волновое число:
k
c
f1 t kr
и
f 2 t kr
2
Длина волны - пространственный период или путь, проходимый
волной за период колебания.
Электродинамика и РРВ.Сем.1. Лекция 3(3).
8