Расчет продольных колебаний стержня

1.

Семинар 9. Расчет продольных колебаний стержня

2.

Пример 3. Определить собственную частоту и форму продольных
колебаний стержневой системы
М
EF, pF
с
L
1. Записать уравнения продольные собственные колебания стержня
дu 1 дu
2 2 0 (8.2а)
2
дx c0 дt
2
2
c0
2. Решение уравнения имеет вид
u ( x, t ) U ( x) sin t
( 8.3а )
3. Подстановка (8.3а) в (8.2а) приводит к уравнению
U U 0 (8.4) где
2
c0
4. Записать общее решение (8.4) в виде
U ( x) C1 sin x C2 cos x ( 8.6)
(8.5)
E

3.

Основные типы граничных условий для продольных колебаний стержней
1. u = 0
дu
2. EF 0
дx
дu
3. EF N
дx
дu
4.1. EF cu 0
дx
дu
4.2. EF cu 0
дx
д 2u
дu
5.1. EF M 2
дt
дx
д 2u
дu
5.2. EF M 2
дt
дx

4.

5. Записать граничные условия при x =0 и x = l
u (0, t) = 0
(x = 0)
дu
д 2u
EF
M 2 cu ( x L) (10.1)
дx
дt
6. Подставим (8.3а) в 1 краевое условие (10.1)
U (0) = 0
(x = 0)
7. Решение для определения собственных частот , только когда
граничные условия при х=0 нулевые
Подставим (8.6) в 1 краевое условие (10.1)
U ( x) C1 sin x C2 cos x ( 8.6)
U (0) 0 C2 0
U ( x) C1 sin x ( 8.6а)
8. Подставим (8.3а) в 2 краевое условие (10.1)
дu
д 2u
EF
M 2 cu ( x L) (10.1)
u ( x, t ) U ( x) sin t ( 8.3а )
дx
дt
Получим 2 краевое условие относительно U(x)
EFU ' M 2U cU ( x L) (8.7)

5.

9. Подставим (8.6а) в 2 краевое условие (8.7)
U ( x) C1 sin x ( 8.6а) EFU ' M U cU ( x L)
2
Получим
EFC1 cos L MC1 2 sin L cC1 sin L
10. Для того, чтобы было не нулевое решение C1 необходимо
EF cos L ( M 2 c) sin L
(8.7)

6.

EF cos L ( M 2 c) sin L
11. Преобразования
FL
M
Делим обе части уравнения на
EF
E
( M c)tg
2
L
c0
M
: M
Получаем
c
L
(
)tg
E
M
c0
EF
M
Умножаем на
EF
M
c
L
(
)tg
E
M
c0
1
cL
EF

7.

c
L
(
)tg
E
M
c0
EF
M
FL E
c
L
(
) Ltg
M
M
c0
FL
c
L
c0 (
) Ltg
M
M
c0
Делим обе части уравнения на Со
FL
L
cL
L
(
)tg
M
c0 c0 M
c0
с/M квадрат собственной частоты массы М на пружине с

8.

FL
L
cL
L
(
)tg
M
c0 c0 M
c0
FL L
c * L2 * c0 L
tg
2
M
c0 M * L * c0 c0
Обозначим
FL
L / c0
c * L2 * 1
c * L * FL 1
tg
tg
M
M *E
EF * M

9.

12. Собственные частоты продольных колебаний определяются из уравнения
FL
c * L * FL 1
tg
M
EF * M
FL
M
1 отношение массы стержня к массе на консоли
cL
0,1 отношение жесткости пружины к жесткости стержня
EF
1
1 0,1*1* tg
Определяем k , k 1, 2, 3, 4
1
tg
1
10
k k c0 / L

10.

Собственные частоты продольных колебаний
k k c0 / L k *
E
/L
13. Собственные формы продольных колебаний
U k ( x ) C1 sin
k x
L
Для не нулевого решение C1 можно принять равным 1
U k ( x ) 1* sin
k x
L

11.

Частные случаи
1-й частный случай с=0
FL
L
cL
L
(
)tg
M
c0 c0 M
c0
FL
M
(
L
c0
)tg
L
c0
12. Собственные частоты продольных колебаний определяются из уравнения
Когда масса М равна массе стержня
FL
M
* tg
1 * tg
13. Собственные формы продольных колебаний
U k ( x ) 1* sin
k x
L
tg 1 / 0

12.

2-й частный случай М=0
FL
c * L * FL 1
tg * M
M
EF * M
c * L * FL 1
c*L 1
FL (
)tg 1 (
) tg
EF
EF
cL
0,1 отношение жесткости пружины к жесткости стержня
EF
1 1
1
tg
10
13. Собственные формы продольных колебаний
U k ( x ) 1* sin
k x
L