Семинар 15. Изгибные колебания стержня (самостоятельная)

1.

Семинар 15. Изгибные колебания стержня (самостоятельная)
Определить собственные частоты и формы изгибных колебаний стержня
EJ
L
1. Записать уравнение в частных производных.
д 4 w F д 2 w
0 (10.2)
4
2
дx
EJ дt
2. Записать решение, разделяя переменные по времени и координате
w ( x, t ) W ( x) sin t
( 10.3)
3. Подстановкой привести к обыкновенному дифференциальному уравнению
относительно форм колебаний
W IV 4W 0 (10.4)
4. Записать решение для форм колебаний
W ( x ) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
( 10.5)

2.

EJ
L
5. Записать граничные условия относительно форм колебаний
д2w
д2w
w(0) 0, EJ 2 (0) 0, w( L) 0, EJ 2 ( L) 0
дx
дx
6. Составить условие ненулевого решения для определения собственных частот
W ( x ) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
W ( x ) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x

3.

6. Составить условие ненулевого решения для определения собственных частот
W ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
W ( x ) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x
W (0) 0 C2 *1 0 C4 *1 0
W (0) 0 C2 *1 0 C4 *1 0
C2 C4 0
C2 C4 0
C2 0 C4 0
W ( x) C1 sin x C3 sh x
W ( x ) C1 2 sin x C3 2 sh x
7. Записать выражение для определения собственных частот
W ( L) C1 sin L C3 sh L 0
W ( L) C1 sin L C3 sh L 0

4.

7. Записать выражение для определения собственных частот
C1 sin L C3 sh L 0
C1 sin L C3 sh L 0
Преобразования
C1 sin L C3 sh L 0
C1 sin L C3 sh L 0
C1 sin L C3 sh L 0
C3 0
C1 sin L C3 sh L 0
sin L 0
L n
F
4
n 1,2,.....
EJ
2
n 2 2
n 2
L
8. Записать выражение для собственных форм колебаний
W ( x) C1 sin x
EJ
F