Лекция 12. Изгибные колебания стержня

1.

Лекция 12. Изгибные колебания стержня
Изгибные колебания стержня описывают уравнением
д2
д2w д
дw
EJ 2 F
p ( x, t ) (7.32)
2
дx
дx дt
дt
Решение уравнения (7.32), удовлетворяющее на каждом конце одному из краевых
условий, должно также удовлетворять начальным условиям
дw
w( x,0) f ( x);
( x,0) g ( x) (7.33)
дt

2.

Основные типы краевых условий для изгибных колебаний стержней
1. w 0,
дw
0
дx
д2w
2. w 0, EJ 2 0
дx
д
д2 w
д2w
3. EJ 2 0, EJ 2 0
дx
дx
дx
д
д2w
д2 w
4. EJ 2 c1w 0, EJ 2 0
дx
дx
дx
д2w
дw
5. w 0, EJ 2 c2
0
дx
дx

3.

В технической теории изгибные колебания стержня описывают
уравнением при p = 0
д2
д2 w д
дw
EJ 2 F
0 (10.1)
2
дx
дx дt
дt
Если стержень имеет постоянные по длине характеристики EJ = const,
F = const, то уравнение для исследования собственных колебаний будет
следующим:
д 4 w F д 2 w
0 (10.2)
4
2
дx
EJ дt
Функция w(x, t) на концах стержня должна удовлетворять краевым
условиям, соответствующим характеру закрепления концов стержня.

4.

Для стержня, совершающего собственные изгибные колебания, решение
может быть методом разделения переменных.
Выделение временного множителя путем подстановки
w ( x, t ) W ( x) sin t
в
( 10.3)
д 4 w F д 2 w
0 (10.2)
4
2
дx
EJ дt
Приводит к уравнению
W IV 4W 0 (10.3)
F
4
где
(10.4)
EJ
Граничные условия для W(x) получают после подстановки в исходные
условия выражения (10.3) и сокращения на временной множитель sin t

5.

W IV 4W 0 (10.3)
Общее решение. Применение метода начальных параметров.
Функции Крылова.
Решением уравнения (10.3) является функция
W ( x ) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
( 10.5)
Представление общего решения в виде (10.5) не является единственным.
В качестве фундаментальной системы могут быть использованы другие
функции, являющиеся линейными комбинациями функций, входящих в (10.5).
В частности, вместо (10.5) можно взять выражение
W ( x) C1 sin x C2 cos x C3 e x C4 e x
(10.6)

6.

Собственные частоты и собственные формы колебаний.
Для получения частотного уравнения необходимо привлечь краевые условия.
Подстановка в краевые условия одного из видов общих решений (10.5),
(10.6) приводит к однородной системе уравнений относительно постоянных,
входящих в эти решения.
Условия существования ненулевого решения для постоянных дает
уравнение частот.
Ненулевое решение определяет форму собственных колебаний.

7.

Лекция 13. Изгибные колебания стержня
Фундаментальная система Коши
.
При решении большого класса задач удобно использовать
фундаментальную систему Коши j .
j , составляющие эту систему,
Линейно-независимые функции
являются линейными комбинациями функций, входящих в (10.5), и обладают тем
свойством, что матрица Коши для этих функций при х = 0 является единичной
1 (0)
1 (0)
(0)
1
(0)
1
2 ( 0)
2 (0)
2 (0)
2 (0)
3 ( 0)
3 (0)
3 (0)
3 (0)
4 ( 0)
4 (0)
E
4 (0)
4 (0)
(10.7)
Фундаментальной системой Коши в случае изгибных колебаний
стержней с постоянными по длине параметрами являются функции
j ( x) 1 j S j ( x), (10.8)
где
S j ( x) функции Крылова :

8.

1
S1 ( x) (ch x cos x);
2
1
S 2 ( x) ( sh x sin x);
2
( 10.9)
1
S 3 ( x) (ch x cos x);
2
1
S 4 ( x) ( sh x sin x);
2
Общее решение через функции Крылова имеет вид
W ( x ) C1S1 ( x ) C2 S 2 ( x ) C3 S 3 ( x ) C4 S 4 ( x)
(10.10)
Аналог общего решения, соответствующий методу начальных параметров,
имеет вид
W ( x ) W (0) S1 ( x)
W (0)
W (0)
W (0)
S 2 ( x)
S
(
x
)
S 4 ( x) (10.10а )
3
2
3

9.

Функции Крылова
Sj (х) и их производные по x, как это следует из (10.8) и
(10.7), при х = о составляют единичную матрицу.
Таблицы численных значений функций Крылова можно найти в [100].
Функции Крылова и их производные связаны соотношениями (штрих
означает дифференцирование по х)
S1 ( x) S 4 ( x);
S 2 ( x) S1 ( x);
( 10.11)
S 3 ( x) S 2 ( x);
S 4 ( x) S3 ( x);
Используя эти выражения, нетрудно получить выражения для
производных от W(х)
W ( x) C1 S 4 ( x) C2 S1 ( x) C3 S 2 ( x) C4 S3 ( x)
W ( x) C1 2 S3 ( x) C2 S 4 ( x) C3 S1 ( x) C4 S 2 ( x);
W ( x) C1 3 S 2 ( x) C2 2 S3 ( x) C3 S 4 ( x) C4 S1 ( x) (10.12)

10.

Собственные частоты и собственные формы колебаний.
Для получения частотного уравнения необходимо привлечь краевые условия.
Подстановка в краевые условия одного из видов общих решений (10.5),
(10.6) или (10.10) с учетом (10.12) приводит к однородной системе уравнений
относительно постоянных, входящих в эти решения.
Условия существования ненулевого решения для постоянных дает
уравнение частот.
Ненулевое решение определяет форму собственных колебаний.