Неопределенный интеграл. Способы вычисления

1.

Уважаемые студенты, вспоминаем понятие
ИНТЕГРАЛ, и изучаем новые методы интегрирования:
метод замены и интегрирование по частям. Сделать
конспект. На урок иметь таблицу первообразных и
правила вычисления интегралов, они есть в
справочнике

2.

Евдокс Книдский
ок. 408 — ок. 355 год до н. э.

3.

Неопределенным
интегралом
от
непрерывной
функции
f(x)
на
интервале (a; b) называют любую ее
первообразную функцию.
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
c
Где С – произвольная постоянная (const).

4.

1. F(x) =Сх+С
1.f(x) = хn
2. F(x) =
2.f(x) = C
3. F(x) = tg x+С
3.f(x)=sinx
4.f(x) =
1
2
4. F(x) = sin x+С
sin x
5. F(x) = сtg x+С
5.f(x) =cosx
6.f(x)=
x n 1
С
n 1
1
cos 2 x
6. F(x) = - cos x+С

5.

Свойства интеграла
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx
C
f
(
x
)
dx
Cf
(
x
)
dx

6.

Свойства интеграла
f ( х)dx f ( х)
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
С
1
f
(
kx
b
)
dx
F
(
kx
b
)
C
k

7.

Таблица интегралов:
В формулах ниже предполагается, что a, p (p≠1), C−действительные
постоянные, b − основание показательной функции (b≠1,b>0).

8. Основные методы интегрирования

1.Табличный.
2.Сведение к табличному
преобразованием подынтегрального
выражения в сумму или разность.
3.Интегрирование с помощью замены
переменной (подстановкой).
4.Интегрирование по частям.

9. Найти первообразные для функций:

1) f(x) =10х
2) f(x) =3 х²
3) f(x) = sinх+5
4) f(x) = 5cosx
5) f(x) = 6х²
6) f(x) = 3-2х

10. Верно ли что:

а)
x
dx
5
x
C
5
4
б)
в)
3
x
dx
x
C
2
3
г)
3
x
dx
6
x
C
2
1 7
x
dx
x
C
7
6

11.

5
(
3
x
4 cos x 2 x 1)dx
Интеграл суммы выражений равен сумме
интегралов этих выражений
Постоянный
множитель можно
вынести за знак
интеграла

12.

Пример 2.
3
2
4
x
( x 5 x 7e x )dx
Записать
решение:

13.

Пример 3.
4
3
(
x
3 х ) dx
cos 2 x
Записать
решение:

14.

sin( 6 x 2)dx
Введем новую переменную и
выразим дифференциалы:
Записать
решение:

15.

Пример 5.
3 6 x dx
Записать
решение:
Проверить
решение

16.

Cамостоятельная работа
Найти неопределенный интеграл
Проверить
решение
Уровень «А» (на «3»)
Уровень «В» (на «4»)
1 65 3 2
1
1). (xх 3xх 44x) dxC
6
2
1
54
33). (3
(3 4
4 xõ)) dx
C
20
2)5x 3e 4 ln x C
3
1 66xx 3
4). e
dx
4
e
C
6
4
4
х
5
x
2. ( 25 х 3е ) dx
х
Уровень «С» (на «5»)
1
22
3 6
5
sin( 55xx 44
) ) dx
C 66).2 ctgx
( 2 x xõ 3õ5 )dx
C
5). cos(
5
sin 3x
5x

17.

Задание
Установить соответствие. Найти такой общий вид
первообразной, которая соответствует заданной
функции.
x
1. F x cos x C
2
3
1. f x x x
x2
x4
2. F ( x )
C
2
4
2. f x 2 cos x
5 x 2 10 x 3
3.F ( x) 8 x
C
2
3
2
4. F ( x ) 2sin x C
3. f x 8 5 x 10 x
4. f x 4 3x
9
10 x 2
5.F ( x) 8 x sin x
C
3
1
10
6. F ( x )
4
3
x
C
30
1
10
7. F ( x ) 4 3 x C
3