Прямая на плоскости. Лекция 4

1.

Прямая на плоскости
Лекция 4

2.

1. Прямая на плоскости
1) Уравнение вида Ax By C 0 , где A 2 B 2 0 называется
о б щ и м у р а в н е н и е м п р я м о й на плоскости;
2) Уравнение y kx b , ( k tg , - угол наклона прямой к оси
угловым коэфOx ) называется уравнением прямой с
A
C
фициентом k ,b ;
B
B
В частности, y kx - уравнение прямой, проходящей через
начало координат,
x 0 - уравнение прямой, совпадающей с осью ОУ,
y 0 - уравнение прямой, совпадающей с осью ОХ.
3) Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 ) с
угловым коэффициентом k : y y0 k x x0 ;
4) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
M1 (x 1 , y1 ) и M 2 (x 2 , y 2 ) :
x x1
y y1
;
x2 x1 y 2 y1

3.

5) Каноническое уравнение прямой (рис.12)
x x0 y y 0
,
l
m
где a l , m - направляющий вектор прямой,
M 0 (x 0 , y 0 ) -точка, принадлежащая этой прямой;
y
a
M0
х
0
Рисунок 12
6) Параметрические уравнения
x x0 l t
( t - любое число, параметр);
y
y
m
t
0

4.

7) Уравнение прямой в «отрезках»
x y
1 (рис.13) ;
a b
y
M 2 (0; b)
b
0
а
х
M 1 ( а;0)
Рисунок 13
8) Если прямые заданы уравнениями y k1 x b1 и y k 2 x b2 ,
то угол между ними находится по формуле: tg
k 2 k1
.
1 k1k 2
k1 k 2 - условие параллельности прямых,
k1 k 2 1 - условие перпендикулярности прямых.
9) Расстояние d от точки M 0 (x 0 , y 0 ) до прямой Ax By C 0 вычисляется
по формуле
d
Ax0 By 0 C
A B
2
2
.

5.

Пример.
Даны вершины треугольника A 4 ; 4 , B 6 , 2 , C 1, 8 . Найти:
а) уравнение стороны AB ;
б) уравнение высоты AH ;
в) уравнение медианы CM ;
г) точку N пересечения медианы CM и высоты AH ;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB ;
е) тангенс угла B ;
ж) расстояние от точки C до прямой AB .
Решение.
а) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки,
получим уравнение прямой AB : A 4 ; 4 , B 6 , 2
x 4 y 4 x 4 y 4
;
.
6 4 2 4
2
6
Следовательно, 3x 12 y 4
Тогда имеем AB : 3x y 16 0 .

6.

б) Так как высота AH перпендикулярна стороне BC , то угловые коэффициенты
этих прямых связаны соотношением k AH
1
k BC
. Найдем угловой коэффициент
прямой BC :
k BC
y 2 y1
8 2
6
.
x2 x1 1 6
7
По точке A 4 ; 4 и угловому коэффициенту k AH
7
составим уравнение
6
прямой AH :
y 4
7
7
26
x 4 , или y x
,
6
6
3
AH : 7 x 6 y 52 0 .
в) Так как CM – медиана, то точка M – середина AB . Найдем координаты
4 6 4 2
;
, следовательно, M 1; 3 .
2
2
точки M : M
По двум известным точкам M 1; 3 и C 1, 8 составляем уравнение медианы
CM :
x 1 y 8 x 1 y 8
;
или CM : 5 x 2 y 11 0 .
1 1 3 8
2
5

7.

г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы CM и высоты AH
составляем систему уравнений:
7 x 6 y 52 0,
.
5
x
2
y
11
0
Умножим второе уравнение на 3 и прибавим к первому:
7 x 6 y 52 0,
15 x 6 y 33 0
Получаем
22x 19 0
19
x
,
22
19
5
2 y 11 0,
22
147
y
.
44
19 147
Итак, точка M ;
.
22
44

8.

д) Так как прямая, проходящая через вершину C , параллельна стороне AB , то
ее угловой коэффициент k k AB =3.
y 3x b ,
8 3 b b 8 3 11 .
Получаем уравнение искомой прямой y 3 x 11 .
е) Тангенс угла B найдем по формуле:
tg
k 2 k1
6
, где k1 k AB =3, k 2 k BC .
7
1 k1k 2
Тогда
6
7 21 6 27 .
tg
6 7 18
11
1 3
7
3
ж) Расстояние от точки C 1, 8 до прямой AB : 3x y 16 0 вычисляем по
формуле:
d
Ax By C
A2 B 2
3 ( 1) 1 8 16
9 1
27 10
.
10