Випадкові величини

1.

ТЕМА: ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
Розробники: Студенти ІПЗ-22Д Поповський С. В. та Ялиніч Д. А.

2.

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
• Випадковими величинами (даними) називаються такі величини, які в ході спостережень або
випробувань можуть приймати різні значення. Можна говорити про те, що їхні значення залежать
від випадку.
Типи:
1) Дискретні
2) Неперервні

3.

ДИСКРЕТНА ВИПАДКОВА
ВЕЛИЧИНА
• Дискретна випадкова величина - це концепція в теорії ймовірностей, яка
описує результат випадкового експерименту, який може приймати
окремі значення з певної скінченої або нескінченної множини. Ці
значення зазвичай є цілими числами або натуральними числами.
Прикладами дискретних випадкових величин можуть бути кількість голів
після кидка монети, кількість заявок, що надійшли до веб-сайту за годину,
або кількість студентів, які отримали оцінку "A" на іспиті.

4.

СПОСОБИ ЗАДАННЯ
• Таблиця розподілу ймовірностей: Ви можете задати дискретну випадкову
величину, вказуючи всі можливі значення та ймовірності, з якими вони
виникають. Наприклад, для кидка звичайної монети можна вказати, що
ймовірність отримати голову дорівнює 0,5, а ймовірність отримати орла також
дорівнює 0,5.

5.

СПОСОБИ ЗАДАННЯ
• Функція маси розподілу визначає ймовірність того, що дискретна випадкова
величина прийме певне значення. Зазвичай ця функція представлена у вигляді
математичного виразу чи графіка. Наприклад, PMF для кількості очок на гральному
кубику виглядає так:

6.

ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСИТИКИ
ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ
Математичне сподівання:
Дисперсія:
Середнє математичне відхилення:

7.

ОСНОВНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ
ДИСКРЕТНИХ ВИПАДКОВИХ
ВЕЛИЧИН
• 1. Бернуллівський розподіл: Використовується для моделювання дискретних подій з двома можливими
результатами (успіх або невдача), де ймовірність успіху позначається як p, а невдачі - як q = 1 - p.
• 2. Біноміальний розподіл: Використовується для моделювання кількості успіхів в серії незалежних бінарних
випробувань, де кожне випробування може мати тільки два можливих результати (успіх або невдача). Параметри
цього розподілу - кількість випробувань (n) і ймовірність успіху в кожному випробуванні (p).
• 3. Геометричний розподіл: Використовується для моделювання часу до виникнення першого успіху в послідовності
бінарних випробувань, де ймовірність успіху в кожному випробуванні - p.
• 4. Розподіл Пуасона: Використовується для моделювання кількості подій, які відбуваються в певний фіксований
часовий період або в певному обсязі простору, якщо ці події відбуваються з фіксованою середньою інтенсивністю.
• 5. Гіпергеометричний розподіл: Використовується для моделювання кількості успіхів в вибірці без повернення зі
скінченої генеральної сукупності. Параметри цього розподілу - розмір генеральної сукупності (N), розмір вибірки
(n), і кількість успіхів в генеральній сукупності (K).

8.

НЕПЕРЕРВНА ВИПАДКОВА
ВЕЛИЧИНА. СПОСОБИ ЇЇ ЗАДАННЯ
Способи задання неперервної випадкової величини:
1. Щільність розподілу (функція щільності): Це функція, яка описує ймовірність того, що випадкова величина прийме
конкретне значення в певному інтервалі. Щільність розподілу зазвичай позначається як f(x), де x - значення випадкової
величини.
2. Кумулятивна функція розподілу (функція розподілу): Це функція, яка показує ймовірність того, що випадкова величина
буде менше або рівна певному значенню. Її зазвичай позначають як F(x).
3. Параметри розподілу: Багато неперервних розподілів мають параметри, які впливають на їхню форму і характер.
Наприклад, нормальний розподіл має два параметри: середнє значення (μ) і стандартне відхилення (σ). Значення цих
параметрів визначають конкретний нормальний розподіл.
4. Графіки розподілу: Графіки функції щільності або функції розподілу дозволяють візуально представити розподіл
випадкової величини. Графік функції щільності зазвичай виглядає як крива на площині, в той час як графік функції розподілу
є кумулятивною функцією та виглядає як зростаюча функція.
5. Математичні рівняння: У деяких випадках неперервні випадкові величини можна описати математичними рівняннями,
наприклад, для певних геометричних фігур, таких як рівномірний розподіл на відрізку [a, b], можна використовувати
функцію щільності f(x) = 1 / (b - a) для a <= x <= b та f(x) = 0 в інших випадках.

9.

ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
НЕПЕРЕРВНОЇ ВИПАДКОВОЇ
ВЕЛИЧИНИ
• Математичне сподівання (середнє значення):
Дисперсія:
Стандартне відхилення:
Медіана: Медіана - це значення, яке розділяє розподіл неперервної випадкової
величини на дві рівні частини так, що половина значень менше медіани, а інша
половина - більше.
Мода: Мода - це значення, яке має найвищу щільність розподілу, тобто це
значення, при якому функція щільності досягає свого максимуму.

10.

ОСНОВНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ
НЕПЕРЕРВНИХ ВИПАДКОВИХ
ВЕЛИЧИН
1. Рівномірний розподіл: Рівномірний розподіл використовується для моделювання ситуацій, де
всі значення між двома точками на інтервалі рівномірно розподілені. Параметри цього розподілу
- нижня межа a і верхня межа b.
2. Нормальний (Гауссів) розподіл: Нормальний розподіл є одним з найпоширеніших розподілів в
природі. Він має симетричну колоколоподібну форму і використовується для моделювання
численних явищ у природі та суспільстві. Параметри цього розподілу - середнє значення μ і
стандартне відхилення σ.
3. Експоненціальний розподіл: Експоненціальний розподіл використовується для моделювання
часу між подіями в процесах з пам'яттю без попереднього сподівання. Параметр цього розподілу
- середній час між подіями (зазвичай позначається як λ).
4. Гамма-розподіл: Гамма-розподіл використовується для моделювання суми часу до подій, які
мають експоненціальний розподіл. Він має два параметри: параметр форми (α) і параметр
масштабу (β).
5. Логнормальний розподіл: Логнормальний розподіл використовується для моделювання
величин, які мають логарифмічно нормальний розподіл. Цей розподіл зазвичай
використовується в фінансах та економіці.
6. Бета-розподіл: Бета-розподіл використовується для моделювання випадкових величин, які
обмежені на відрізку [0, 1]. Він має два параметри (α і β), які визначають форму розподілу.
7. Вейбуллів розподіл: Вейбуллів розподіл використовується для моделювання величин зі
складними функціями ризику. Він має параметр форми (α) і параметр масштабу (β).

11.

СТАНДАРТНА ФУНКЦІЯ ЛАПЛАСА