Уравнение прямой и плоскости

1.

GİRİŞ HİSSƏ
ЛЕКЦИЯ 4
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
PLAN
Параметрическое и каноническое уравнение прямой
Общее уравнение прямой
Уравнение прямой в отрезках
Уравнение с угловым коэффициентом
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Взаимное расположение двух прямых
Общее уравнение плоскости
Взаимное расположение двух плоскостей
Уравнение прямой в пространстве
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространств

2.

ЛИТЕРАТУРА
1)
Под ред. Н.Ш.Кремера . Высшая математика для экономистов.
ЮНИТИ 2012
2)
Н.Дж.Мусаев, В.Я.Гюльмамедов. Лекции и задачи по курсу высшей
математики. 1-я и 2-я части, Баку2002
3)
В.А.Ильин . Э.Г.Позняк . Линейная алгебра.-М.: Наука, 2010
4)
В.А.Ильин .Э.Г. Позняк. Основы математического анализа.Часть 1-М.:Физматлит,2005
5)
Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике .Москва.1-я
и 2-я части, 2018
6)
Под ред. В.И.Ермакова. Сборник задач по высшей математике для
экономистов-М.2006
7)
Ю.М.Протасов. Линейная алгебра и аналитическая геометрия .2017

3.

ВВЕДЕНИЕ
В этой лекции мы приступим к изучению уравнения прямой и плоскости.
Выясним, какое уравнение может называться уравнением прямой, а какоеуравнением плоскости. Рассмотрим несколько видов уравнения прямой на
плоскости и несколько видов уравнения плоскости в пространстве.
Пусть на плоскости задана прямая с фиксированной точкой M 0 x 0 ; y 0 и
вектор a m , n
.Этот вектор называется направляющим вектором прямой
.
На прямой возьмём
произвольную точку M x; y .

4.

Проведем радиус – векторы:
r 0 OM 0 ; r OM .
MM r r 0 коллинеарен
вектору a , поэтому r r 0 t a -векторное уравнение прямой (1).
В координатной форме будет:
x x0 t m
x x 0 ; y y 0 t m ; t n
- параметрическое уравнение. (2)
y y0 t n
Решая систему относительно t получим:
x x0 y y0
- каноническое уравнение прямой.
(3)
m
n
Теперь возьмём вектор N A , B . Этот вектор называется
нормалью прямой .
N N M 0M N , M 0M 0
M 0M r r0 r r 0 , N 0
В координатной форме будет:
A x x 0 A y y 0 B 0
Ax Ax 0 By By 0 0

5.

Ax By Ax 0 By 0 0
Ax By C 0 C Ax 0 By 0 - общее уравнение прямой
(4)
Рассмотрим следующие частичные случаи:
1) A 0, B 0, C 0 .
В этом случае уравнение (4) можно
A
C
y x
B
B
y kx b
записать в виде:
Где: k
A
,
B
b
C
B
(5)
k - называется условным коэффициентом и он равен : k tg ,
Где - угол, образованный прямой с положительным направлением оси ОХ;
b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ОУ, считая от начала
координат.
2) A 0, B 0, C 0 .
Прямая проходит через начало координат.

6.

3) A 0, B 0,
C 0
Прямая параллельна оси ОХ.
4) A 0, B 0,
C 0
Прямая параллельна оси ОУ.
5) A 0, B 0,
C 0
Прямая совпадает с осью ОХ.
y 0 - уравнение оси ОХ.
6) A 0, B 0,
C 0
Прямая совпадает с осью ОУ.
x 0 - уравнение оси ОУ.
Пусть прямая проходит через точку A x1 ; y1 и не параллельна оси ОУ.
Запишем уравнение этой прямой:
y y1 k x x1
(5)
Запишем уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
A x1 ; y1 , B x 2 ; y 2 .
y y1
x x1
y 2 y1 x 2 x1
(6)
или
x
x1
x2
y
y1
y2
1
1 0
1
(7)

7.

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ.
Пусть прямые 1 и 2 заданы их общими уравнениями:
A 1x B1y C1 0
A 2x B2y C 2 0
Угол между этими прямыми определяется как угол между нормалями,
проведенными к этим прямым:
N ,N
Cos
1
2
N1 N 2
A 1A 2 B1B 2
A B
2
1
2
1
A B
2
2
2
2
(8)
Если 0 , то есть прямые параллельны, то:
N1 N 2
A 1 B1
- условие параллельности двух прямых
A 2 B2
(9)
, то есть
Если
прямые
перпендикулярны,
то
2
A 1A 2 B1B2
Cos 0
0 A 1A 2 B1B2 0 - условие
2
2
2
2
2
A 1 B1 A 2 B2
перпендикулярности двух прямых.
(10)

8.

Пусть теперь прямые 1 и 2 заданы уравнениями:
y k 1x b 1
y k 2x b 2
Где k 1 tg 1 ;
k 2 tg 2
tg tg 2 1
tg 2 tg 1
k k1
2
1 tg 1 tg 2 1 k 1k 2
(11)
В случае, когда прямые параллельны, 0 ,
тогда tg tg 0 0
k 2 k1
0.
1 k 1k 2
Отсюда получаем k 1 k 2 - условие параллельности двух прямых
В случае, когда прямые
(12).
перпендикулярны, то есть , имеем
2
tg 1 k 1k 2 0
2
- условие перпендикулярности двух прямых (13)
1
k1
k2

9.

Расстояние от точки M x 0 ; y 0 до
определяется по формуле:
d
Ax 0 By 0 C
A B
2
2
прямой
Ax By C 0
(14)
Расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными их
A1x B1y C 0; A 2 x B2 y C 2 0 ,
общими
уравнениями
определяется по формуле:
d
C 2 C1
A 2 B2
Примеры.
1) Найти геометрическое место точек равноудаленных от точек A 0;3 и
B 2;0 .

10.

Решение
Пусть точка K x; y находится на нужной нам прямой. Тогда по условию
задачи должно выполняться:
AK BK
То есть,
x 0 2 y 3 2 y 2 2 y 0 2
x y 6y 9 x 4x 4 y 4x 6y 5 0
2
2
2
-
2
- уравнение нужной нам прямой.
2). Написать уравнения прямой проходящей через точки A 2;3 и B 3;4 .
Решение
y y1
x x1
y 2 y1 x 2 x1
x 2 y 3
x y 1 0
3 2 4 3
3x y 5 0
3) Найти угол между прямыми: 2x y 1 0,
2 3 1 1
5
1
Cos
4 1 9 1
5 10
2
45o

11.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть в пространстве R 3 заданы плоскость с фиксированной точкой
M 0 x 0 , y 0 , z 0 и нормаль N A; B; C .
На плоскости возьмём произвольную
точку M x, y, z . Так как вектор M 0M
Z
лежит на плоскости , то M 0M N
r
0
0
N, r r 0
M
r0
N , M M 0
M 0M r r0
M
M0 0
N
У
Х
0
Запишем это в координатной форме:
A x x 0 B y y 0 C z z 0 0
Ax Ax 0 By By 0 Cz Cz 0 0
(15)

12.

Ax By Cz Ax 0 By 0 Cz 0 0
D
Ax By Cz D 0
– уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 x 0 , y 0 , z 0
(16) (15)
(16) – общее уравнение плоскости в R 3 .
Уравнение (16) в векторной форме имеет вид:
N, r D 0
Где:
D Ax 0 By 0 Cz 0
Обобщая уравнение (16) для случая
гиперплоскости:
(17)
R n n 3 , получим уравнение
A1x1 A 2 x 2 A n x n D 0
Рассмотрим следующие частные случаи:
1) A 0, B 0, C 0, D 0
Плоскость проходит через начало координат.
2) A 0, B 0, C 0, D 0
By Cz D 0 - уравнение плоскости, параллельной оси ОХ
N 0; B; C OX .
3) A 0, B 0, C 0, D 0

13.

Cz D 0 - уравнение плоскости параллельной плоскости ХОУ. Эта
плоскость параллельна осям ОХ и ОУ.
4) A 0, B 0, C 0, D 0
Cz D 0 - уравнение плоскости ХОУ.
Угол между двумя плоскостями:
A1x B1y C1z D 1 0
и
A 21x B2 y C 2 z D 2 0
равен углу между нормалями:
N 1 A 1 ; B1 ; C1 , N 2 A 2 ; B2 ; C 2
N ,N
A A B B C C
Cos Cos N , N
1
1
2
2
N1 N 2
1
2
1
2
1
A B C
Если , то
2
A 1A 2 B1B2 C1C 2 0
условие перпендикулярности двух плоскостей.
2
1
2
2
1
1 2
2 2
2 2
A BC
2
2
(18)
(19)

14.

A 1 B1 C1
A 2 B2 C 2
(20)
условие параллельности двух плоскостей.
Если выполняется условие:
A 1 B1 C1 D 1
,
A 2 B2 C 2 D 2
то плоскости совпадают.
Расстояние d от точки M 0 x 0 , y 0 , z 0 до плоскости
Ax By Cz D 0
определяется по формуле:
d
Ax 0 By 0 Cz 0 D
A B C
2
2
2
(21)

15.

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ
ЧЕРЕЗ ТРИ ТОЧКИ
Пусть заданы три точки M 1 x1 , y1 , z1 , M 2 x 2 , y 2 , z 2 , M 3 x 3 , y 3 , z 3 , не
лежащие на одной прямой. Для того, чтобы написать уравнения плоскости,
проходящей через эти точки, возьмём на плоскости произвольную точку
M x, y, z . Тогда векторы
M1M x x1, y y1, z z1 , M1M 2 x 2 x1, y 2 y1, z 2 z1 ,
M 1M 3 x 3 x1 , y 3 y1 , z 3 z1 будут лежать на этой плоскости и будут
выполняться равенства:
N , M M 0
N , M M 0
N , M M 0
1
1
2
1
3
Записав эти равенства в координатной форме, получим систему:
A x x1 B y y1 C z z1 0
A x 2 x1 B y 2 y1 C z 2 z1 0
A x 3 x1 B y 3 y1 C z 3 z1 0

16.

Для существования нетривиального решения этой системы необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось:
x x1
x 2 x1
x 3 x1
y y1
y 2 y1
y 3 y1
z z1
z 2 z1 0
z 3 z1
.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M 0 x 0 , y 0 , z 0 и
параллельной векторам: a m1 ; n 1 ; p 1 , b m 2 n 2 p 2 имеет вид:
x x0
m1
m2
y y0
n1
n2
z z0
p1 0
p2
(23)

17.

Уравнение плоскости, проходящей через две данные точки M 1 x1 , y1 , z1 ,
M 2 x 2 , y 2 , z 2 и параллельной вектору a m, n , p , имеет вид:
x x1 y y1 z z1
x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 0
(24)
m
n
p
Уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 x1 , y1 , z1 , M 2 x 2 , y 2 , z 2
и перпендикулярной плоскости Ax By Cz D 0 , имеет вид:
x x1 y y1 z z1
x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 0
(25)
A
B
C

18.

Примеры
1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A 1;3;5 и
имеющей нормаль N 5;3;1 .
Решение
A x x 0 B y y 0 C z z 0 0
5 x 1 3 y 3 1 z 5 0
5x 3y z 5 9 5 0
5x 3y z 19 0
2) Найти угол между плоскостями x 2y 2z 1 0 и x y 4 0
.

19.

Cos
A 1A 2 B1B 2 C1C 2
A 12 B12 C12
1 2 0
2
2
2
1 4 4 1 1
A 2 B2 C 2
3
1
9 2
2
45o
3) Показать, что данные плоскости
x 2y z 7 0; 2x y z 2 0; x 3y 2z 11 0
Пересекаются в одной единственной точке, и найти координаты этой точки.

20.

Решение
Для
существования одной
коэффициентов системы:
общей
x 2y z 7 0
2x y z 2 0
x 3y 2z 11 0
точки,
детерминант
(*)
должен быть отличен от нуля.
И действительно,
1 2 1
2 1 1 2 2 6 1 3 8 2 0
1 3 2
матрицы

21.

Для того, чтобы найти координаты точки пересечения заданных
плоскостей, решим систему (*) методом Крамера:
7 2 1
1 2 1 1 14 22 6 11 21 8 2
11 3 2
1 7
1
2 2 2 1 4 7 22 2 28 11 4
1 11 2
1 2 7
3 2 1 2 11 4 42 7 6 44 4
1 3 11
3 4
1 2
2 4
X
1;
2;
Z
2
У
2
2
2
(1; -2; 2) – точка пересечения.

22.

УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Пусть в R 3 задана прямая , с
фиксированной точкой M 0 x 0 , y 0 , z 0
и задан направляющий вектор
S m, n , p параллельный прямой
На прямой возьмём произвольную
точку M x, y, z .
Так как M 0M лежит на прямой , то
M 0M и S коллинеарны M 0M r r0
r r 0 t s - векторное уравнение
(26)
Запишем это уравнение в координатной форме. Получим:
x x0 t m
y y0 t n
z z 0 t p
- параметрическое уравнение
(27).

23.

Решая эту систему относительно параметра t , получим:
x x0 y y0 z z0
- каноническое уравнение
m
n
p
(28)
В пространстве расстояние от точки до прямой определяется по формуле:
d
y1 y 0
n
z1 z 0
z1 z 0
p
p
2
x1 x 0
x1 x 0
m
m
2
m n p
2
2
y1 y 0
n
2
2
(29)
Уравнение прямой, проходящей через точки M 1 x1 , y1 , z1 и M 2 x 2 , y 2 , z 2
имеет вид:
x x1
y y1
z z1
x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1
(30)
Угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями:
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
и

24.

Определяется как угол между направляющими векторами этих прямых, то
есть между s1 m 1 ; n 1 ; p 1 и s2 m 2 ; n 2 ; p 2 .
s,s
Cos
1
m 1 m 2 n 1n 2 p 1p 2
2
s1 s2
m n p
2
1
2
1
2
1
m n p
2
2
2
2
(31)
2
2
m1 n 1 p1
- условие параллельности.
m2 n2 p2
m1m 2 n 1n 2 p1p 2 0 - условие перпендикулярности.
Пусть прямая в R 3 задана каноническим уравнением
x x0 y y0 z z0
,
m
n
p
а плоскость – общим уравнением
Ax By Cz D 0

25.

Угол между этими прямой и плоскостью определяется как угол между
направляющим вектором s m ; n ; p прямой и нормалью N A ; B; C
плоскости:
Sin
A m Bn C p
A B C
2
Если 0 , то Sin 0
2
2
(32)
m n p
A m Bn C p
2
2
2
A B C m n p
2
2
2
2
2
2
0
A m Bn C p 0 - условие параллельности прямой и плоскости.
A m Bn C p
1
Если , то Sin
2
2
2
2
2
2
2
2
A B C m n p
A B C
- условие перпендикулярности прямой и плоскости.
m n p

26.

Примеры
1) Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
A 2;0; 3 и имеющей направляющий вектор s 2; 3;5
Решение
x x0 y y0 z z0
m
n
p
x 2
y z 3
2
3
5
x 3 y 1 z 3
2) Найти угол между прямой
и плоскостью
2
3
2
x 2y 2z 6 0 .
Решение
sin
2 6 4
0 0 параллельны.
1 4 4 4 9 4
Условия параллельности также выполняется:
A m Bn C p 2 6 4 0
3). Найти точку пересечения прямой:
x 3 y 1 z 3
и плоскости x 2y 2z 6 0 .
2
3
2

27.

Решение
Напишем параметрическое уравнение прямой:
x 2t 3
x 3 y 1 z 3
t y 3t 1
2
3
2
z 2t 3
Учитывая эти равенства в уравнении плоскости, получим:
2t 3 2 3t 1 2 2t 3 6 0
2t 3 6t 2 4t 6 6 0
1 0
Данные прямая и плоскость не пересекаются они параллельны.
4) Доказать параллельность прямых
2x 2y z 10 0
,
x y z 22 0
x 7 y 5 z 9
3
1
4

28.

Решение
Данная система содержит уравнения двух плоскостей, пересечением
которых является данная прямая. Приведем уравнение прямой к
каноническому виду.
2x 2y z 10 0
x 12 y
x 3y 12 0
3
1
x y z 22 0
2x 2y z 10 0
z 34 y
4
y
z
34
0
4
1
x y z 22 0
И так, получим:
x 12 y z 34
3
1
4
Выполняется условие параллельности двух прямых:
m1 n 1 p1
m2 n2 p2
3 1 4
3 1 4

29.

ИТОГ
Итак, в этой лекции мы рассмотрели несколько видов уравнения прямой на
плоскости , несколько видов уравнения плоскости в пространстве, а также
уравнение прямой в пространстве. Определили взаимное расположение двух
прямых на плоскости, двух плоскостей в пространстве и взаимное
расположение прямой и плоскости в пространстве.

30.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Какое уравнение называется общим уравнением прямой на
1)
плоскости
2)
Какое уравнение называется параметрическим,а какоеканоническим уравнением прямой
3)
Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки
4)
Как определяется угол между двумя прямыми на плоскости
5)
Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
6)
Общее уравнение плоскости
7)
Взаимное расположение двух плоскостей
8)
Уравнение прямой в пространстве
9)
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве