Решение ЛДУ 2 - го порядка с постоянными коэффициентами

1. Решение ЛДУ 2 - го порядка с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка
с постоянными коэффициентами имеет вид
ay b y c y = f ( x).
Если f (x) = 0,
то уравнение называется о д н о р о д н ы м .
Если f ( x) 0,
то уравнение называется н е о д н о р о д н ы м .

2. Однородные линейные уравнения

Теорема о структуре общего решения линейного
однородного уравнения 2-го порядка
Если функции y1 ( x), y2 ( x)
являются линейно независимыми
решениями линейного однородного уравнения ay b y c y
то его общее решение является их линейной комбинацией
=0
Y = C1 y1 ( x) C2 y2 ( x).
Метод решение линейного однородного уравнения с постоянными
коэффициентами – это метод Эйлера
Решение уравнения ищется в виде
y ( x) = e kx y = k e kx, y = k 2 e kx.
После подстановки в уравнение получаем квадратное уравнение
2
ak b k c = 0,
которое называется х а р а к т е р и с т и ч е с к и м уравнением

3.

Характеристическое уравнение получается из данного
дифференциального формальной заменой в нем
y k 2 , y k , y 1.
Формулы для нахождения корней квадратного уравнения
ak b k c = 0
2
k1,2
b b2 4ac
=
,
2a
D = b 2 4ac
В зависимости от знака дискриминанта
уравнения возможны три случая вида частных решений y1 , y2 .

4.

Общее решение ОЛДУ 2-го порядка имеет вид :
Y = C1 y1 C2 y2
1. Если D 0, уравнение имеет два различных действительных корня
k1 k2
и две линейно независимых функции
y1 = e
k1x
и
k2 x
y2 = e ,
из которых составляется общее решение однородного уравнения
Y = C1e
k1x
C2e
k2 x
(1)
2. Если D 0, уравнение имеет два одинаковых действительных корня
kx
kx
y
=
xe
и 2
и две линейно независимых функции y1 = e
из которых составляется общее решение однородного уравнения
k1 = k2 = k
Y = ekx (C1 C2 x)
(2)
3. Если D 0, уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней
k1,2 = i
и две линейно независимых функции
x
y
=
e
sin x тогда общее решение уравнения
y1 = e cos x, 2
Y =e x (C1 cos x C2 sin x)
(3)
x

5. Вид частного и общего решений ОЛДУ 2-го порядка

D
1 D>0
2 D=0
корни
хар. ур-я
k1 k2
k1 = k2 = k
3 D<0 k1,2 = i
частные
решения
(фср)
k1x
y1 = ek x
y2 = e 2 ,
y1 = ekx
y2 = xekx
общее решение
Yоо = C1e
k1x
C2e
k2 x
Yоо = ekx (C1 C2 x)
y1 = e x cos x,
y2 = e x sin x
Yоо =e x (C1 cos x C2 sin x)

6.

Примеры. Решить ОЛДУ с постояннымикоэффициентами
I. D > 0, k1 k2
1. y 3 y 2 y = 0 k 2 3k 2 = 0 k1,2 =
3 9 8 3 1
=
,
2
2
k1 = 2, k2 = 1, ( D > 0, k1 k2 ), Y = C1 e2 x C2 e x .
2. 2 y 5 y 2 y = 0.
2 y 5 y 2 y = 0 2k 2 5k 2 = 0
5 25 16 5 3
k1,2 =
=
k1 = 1/2, k2 = 2,
4
4
у1 e x/2 , у2 e 2 x
3. y 4 y = 0.
- фср;
Y = C1 e x/2 C2 e 2 x - общее решение
y y = 40 k 2 4k = 0 k (k 4) = 0
k1 = 0, k2 = 4,
(k1 k2 ),
у1 e0 1, у2 e 4 x
- фср;
Y = C1 C2 e4 x
- общее решение

7.

Примеры. Решить ОЛДУ с постояннымикоэффициентами
II. D 0, k1 k2
• 4. y 4 y 4 y = 0 k 2 4k 4 = 0 k1,2 = 2 4 4 = 2,
или
у
1
(k 2) 2 = 0, k1 = k2 = 2,
=e
2 х
, у2 = xe
2 х
- фср;
( D = 0),
Y = e 2 x (C1 C2 x)
- общее решение
5. 36 y 12 y y = 0.
36 y 12 y y = 0 36k 2 12k 1 = 0 ,
(6k 1) 2 = 0, k1 = k2 = 1 / 6,
у
x/6
x/6
=
e
,
у
=
xe
1
2
- фср;
( D = 0),
Y = e x / 6 (C1 C2 x)
- общее решение

8.

Рассмотрим случай отрицательного дискриминанта (D<0) квадратного
уравнения. Оно имеет в этом случае комплексно-сопряженные корни
Числа
k1, 2 i.
и действительные, а i мнимая единица, определяемая
соотношением i 2 = 1 или
1 = i.
Теперь можно записывать решения квадратных уравнений
с отрицательным дискриминантом:
x 2 1 = 0 x 2 = 1 x1,2 = 1 = i, = 0, = 1.
x 2 4 = 0 x 2 = 4 x1,2 = 4 = 2 1 = 2i, = 0, = 2.
x 2 4 x 5 = 0 x1,2 = 2 4 5 = 2 i, = 2, = 1.
x x 2 = 0 x1,2
2
1
7
1 1 8 1 7 1 i 7
i,
=
=
=
=
2 2
2
2
2
1
7
= , =
.
2
2

9.

Примеры. Решить ОЛДУ с постояннымикоэффициентами
III. D 0, k1,2 = i
y
1
= e x cos x,
y2 = e x sin x
- фср;
Y =e x (C1 cos x C2 sin x) - общее решение
6. y 6 y 13 y = 0 k 2 6k 13 = 0
k1,2 = 3 9 13 = 3 4 = 3 2 i,
y
1
= e 3 x cos 2 x,
= 3, = 2,
y2 = e 3 x sin 2 x
- фср;
Y = e 3 x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x). - общее решение

10.

Y =e x (C1 cos x C2 sin x)
- вид общего решения
7. y 25 y = 0.
y 25 y = 0 k 2 25 = 0 k 2 = 25 k1,2 = 5 i,
= 0, = 5,
Y = C1 cos 5 x C1 sin 5 x. - общее решение
8. y y y = 0.
y y y = 0 k 2 k 1 = 0
k1,2 =
1 1 4 1 3 1 3i 1
3
=
=
=
i,
2
2
2
2 2
( D < 0, k1,2 = i),
= 1/2, = 3/2,
3
3
Y = e x/2 C1 cos
x C2 sin
x .
2
2
- общее решение