Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Лекция 4

2.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
второго порядка
y py qy 0 ,
(1.1)
где p и q – постоянные действительные числа.
Известно, что если y1 и y 2 - линейные независимые решения
уравнения (1.1), то общее решение этого уравнения будет
y c1 y1 c2 y2 , где c1 , c2 const.
Частные решения будем искать в виде
y e kx ,
kx
2 kx
Тогда y ke , y k e .
Подставим (1.2) в (1.1), получим
где k=const.
k 2 e kx pkekx qe kx 0
e kx (k 2 pk q) 0
kx
e
0, то
Т.к.
(1.2)

3.

k 2 pk q 0 .
(1.3)
Отсюда, если k будет удовлетворять уравнению (1.3), то y e
решением уравнения (1.1).
kx
будет
Уравнение (1.3) называется характеристическим по отношению к
уравнению (1.1).
2
Характеристическое уравнение k pk q 0 есть квадратное уравнение.
Находим корни характеристического уравнения
p
k1
2
p2
p
q, k 2
4
2
p2
q.
4
Возможны 3 случая:
1) корни k1 и k 2 - действительные и различные ( k1 k2 ),
2) корни k1 и k 2 - действительные, равные числа ( k1 k 2 ),
3) корни k1 и
k 2 - комплексные числа.

4.

Рассмотрим отдельно каждый случай.
1) Корни характеристического уравнения действительны и различны
( k1 k2 ).
В этом случае частными решениями уравнения (1.1) будут
y1 e k x , y 2 e k x .
Эти решения линейно независимы ( k1 k2 ). Значит, общее решение
уравнения (1.1) имеет вид
y c1e k x c2 e k x .
(1.4)
Пример. Найти общее решение уравнения
1
2
1
2
y 3 y 2 y 0
k 2 3k 2 0
k1 1, k 2 2
y c1e x c2 e 2 x .
2) Корни характеристического уравнения
( k1 k 2 ).
Одно частное решение известно:
действительные и равные
y1 e k1x
Второе частное решение, линейно независимое с первым, будем
искать в виде
y 2 e k x u( x) , где u (x) - неизвестная функция.
Дифференцируя, имеем
y 2 u e k x k1e k x u e k x (u k1u) ,
2
y 2 k1e k x (u k1u ) e k x (u k1u ) e k x (u 2k1u k1 u ) .
1
1
1
1
1
1
1

5.

Подставляя выражения производных в уравнение (1.1), получим
2
e k x u 2k1u k1 u pu pk1u qu 0 ,
1
p
2
e k1x u 2 k1 u (k1 pk1 q)u 0 .
2
(1.5)
Т.к. k1 - корень характеристического уравнения, то
k1 pk1 q 0.
2
По условию k1 k 2 p , т.е.k1 p 0. Отсюда (1.5) примет вид u 0 .
2
2
Последовательно интегрируя, получим
u A
u Ax B
где А, В – const.
Полагая А=1, В=0, получим u=x.
kx
Итак, y 2 xe - второе частное решение уравнения (1.1).
Решения y1 и y 2 линейно независимые, т.к.
1
y1
e k1x
1
k1x const .
y 2 xe
x
Тогда согласно теореме (2.6), общее решение уравнения (1.1) имеет вид
y c1e k1x c2 xek1x или y (c1 c2 x)e k1x .
(1.6)
Пример. Найти общее решение
y 2 y y 0
k 2 2k 1 0
k1 1, k 2 1 k1 k 2 1
y c1e x c2 xe x e x (c1 c2 x)

6.

3) Корни характеристического уравнения комплексные.
Пусть k 1 и k 2 - комплексные сопряженные, т.е.
( 0)
k1 i , k 2 i .
Тогда можно показать, что функции
y1 e x cos x и y 2 e x sin x
являются частными решениями уравнения (1.1).
Причем эти решения линейно независимые, т.е.
y 2 e x sin x
tg x const .
y1 e x cos x
Поэтому общее решение уравнения (1.1) имеет вид
y e x (c1 cos x c2 sin x) .
Пример.
y 4 y 13 y 0
k 2 4k 13 0
k1, 2 2 4 13 2 3i
y e 2 x (c1 cos 3x c2 sin 3x)

7.

ВЫВОД.
Для нахождения общего решения линейного
однородного дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами вида
y py qy 0 (p,q - const)
надо:
1) составить характеристическое уравнение k 2 pk q 0 и найти
его корни k1 и k 2 ,
2) по виду корней k1 и k 2 выписываем общее решение линейного
однородного уравнения из следующей таблицы
Корни характеристического
уравнения
1.корни действительные и
различные, ( k1 k 2 )
2.корни действительные и
равные ( k1 k 2 )
3.корни комплексные и
сопряженные ( k1, 2 i)
Общее решение линейного
однородного уравнения
y c1e k1x c2 e k2 x
y c1e k1x c2 xek1x e k1x (c1 c2 x)
y e x (c1 cos x c2 sin x)