Обратные тригонометрические функции и их свойства. 10 класс

1.

10 класс
Обратные тригонометрические функции
и их свойства

2.

Содержание
• Функция y = arcsin x и ее свойства
• Функция y = arccos x и ее свойства
• Функция y = arctg x и ее свойства
• Функция y = arcctg x и ее свойства

3.

Функция y=arcsinx и ее свойства
Если |а| ≤ 1, то arcsin а – это такое число
из отрезка [-π/2; π/2], синус которого
равен а.
Если |а| ≤ 1, то
arcsin а = t
sin t = а,
-π/2 ≤ t ≤ π/2;
sin (arcsin a) = a

4.

Функция y=arcsinx и ее график
у
π/2
y=arcsin x
y=sin x
х
-1
0
-π/2
1
π

5.

Функция y=arcsinx и ее свойства
1. D(y) = [-1; 1].
2. E(y) = [-π/2; π/2].
3. arcsin (-x) = - arcsin x – функция
нечетная.
4. Функция возрастает на [-1; 1].
5. Функция непрерывна.

6.

Функция y=arccosx и ее свойства
Если |а| ≤ 1, то arccos а – это такое число
из отрезка [0; π], косинус которого равен
а.
Если |а| ≤ 1, то
arccos а = t
cos t = а,
0 ≤ t ≤ π;
cos (arccos a) = a
arccos (-a) = π – arccos a, где -1 ≤ а ≤ 1

7.

Функция y=arccosx и ее график
у
y=arccosx
π
π/2
Y=cos x
-1
π
0
1
х

8.

Функция y=arccosx и ее свойства
1. D(y) = [-1; 1].
2. E(y) = [0; π].
3. Функция не является ни четной, ни
нечетной.
4. Функция убывает на [-1; 1].
5. Функция непрерывна.

9.

Функция y=arctgx и ее свойства
arctg а – это такое число из интервала (-π/2;
π/2), тангенс которого равен а.
arctg а = t
tg t = а,
-π/2 < t < π/2;
tg (arctg a) = a

10.

Функция y=arctgx и ее график
у
π/2
y=arctg x
π/4
х
-1
0
-π/4
-π/2
y=tg x
1
π

11.

Функция y=arctgx и ее свойства
1. D(y) = (- ; + ).
2. E(y) = (-π/2; π/2).
3. arctg (-x) = - arctg x – функция нечетная.
4. Функция возрастает на (- ; + ).
5. Функция непрерывна.

12.

Функция y=arcctgx и ее свойства
arcсtg а – это такое число из интервала (0;
π), котангенс которого равен а.
arcсtg а = t
сtg t = а,
0 < t < π;
сtg (arcсtg a) = a
arcctg (-a) = π – arcctg a

13.

Функция y=arcctgx и ее график
у
π
y=сtg x
y=arcсtg x
π/2
-π
-π/2
0
π/2
π
х

14.

Функция y=arcctgx и ее свойства
1. D(y) = (- ; + ).
2. E(y) = (0; π).
3. Функция не является ни четной, ни
нечетной.
4. Функция убывает на (- ; + ).
5. Функция непрерывна.

15.

a
arcsin a
arccos a
arctg a
1
0
2
6
0
3
2
0
4
arcctg a
1
2
0
3
3
3
-1
3
2
3
2
6
4
3
3
5
6
4
3
4
5
6

16. Примеры:

область определения и область
значений выражений:
Область
значений
Выражение
Область
определения
2arccos x
1;1
0;2
arcsin 3x
1 1
3 ; 3
2 ; 2
0;
;
;
2 2
arctg
x
- 3arcctg x
3 ;0

17. Пример 3

o Имеет ли смысл выражение:
arcsin(-1/2)
)
да
arccos 5
arcsin(3 -20
нет
нет
3
arcsin1,5
нет
arccos(да
+1 )
arccos5
да

18. пример 4

Сравните числа:
3
arcsin(
)
2
arccos 0,3
1
arcsin
3
arctg1
3
arccos(
)
2
<
arccos 0,7
>
arcsin
2
3
arctg<1,5
<

19. пример

Найдите наименьшее значение a, при
котором существует выражение
Решение.
– 1 ≤ 3 – 8a ≤
1
- 4 ≤ - 8a ≤ - 2
0,25 ≤ a ≤ 0,5
Значит, наименьшее значение a = 0,25.

20. Тригонометрические операции над обратными тригонометрическими функциями

, |x| ≤ 1
, |x| ≤ 1
, |x| ≤ 1
, |x| ≤ 1
, |x| < 1
,|x| ≤ 1, x ≠ 0
, |x| ≤ 1, x ≠ 0
, x≠0
, |x| < 1
, x≠0

21. Упражнение 1

22. Упражнение 2