Гипербола. Определение гиперболы

1.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ
ГИПЕРБОЛА
Подготовил студент
группы 22\1ис
Ласьков Максим
Алексеевич

2.

ПЛАН
1) Определение гиперболы
2)Построение гиперболы
3) Виды гипербол
4) Построение гипербол

3.

ГИПЕРБОЛА
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль
разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами
,есть величина постоянная, равная длине действительной оси
.
Каноническое уравнение гиперболы с центром в
начале координат
В этом случае
a действительная полуось
b мнимая полуось
Фокусы гиперболы всегда лежат на действительной оси.
Связь между параметрами гиперболы определяется соотношением
c2 a 2 b2

4.

ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ
Для построения гиперболы:
1. В системе координат строим прямоугольник с
размерами 2a 2b
на осях OX и OY соответственно.
2. Проводим диагонали этого прямоугольника.
Уравнения диагоналей – это уравнения асимптот
гиперболы
b
x2 y2
2 1
2
a b
y x
a
3. На действительной оси отмечаем вершины
гиперболы и от них
ведем ветви гиперболы к асимптотам.
Y
Y
b
b
a
a
b
X
a
b
a
b
X
c a
a c
b
X

5.

ВИДЫ ГИПЕРБОЛ
5
Y
2
1.Сопряженная гипербола
c
2
x
y
2 2 1
a b
b
a X
b действительная полуось
a мнимая полуось
c
'
2.Гипербола со смещенным центром O ( x0 ; y 0 )
Y
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
1
2
2
a
b
b
X
a
O'
3.Гипербола, приведенная к своим асимптотам
xy a
или
a
y
x
Y
X

6.

РАССМОТРИМ ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛ
1. Построить гиперболу 4 x 2 3 y 2 12
4x2 3y 2
1
12 12
x2
y2
1
12 / 4 12 / 3
2
Y
2
2
x
y
1
3
4
X
3
O(0;0) центр гиперболы
a 2 3 a 3 действительная полуось
b 2 4 b 2 мнимая полуось
c 2 a 2 b 2 3 4 7,
c 7 2c 2 7 расстояние между фокусами
3
2

7.

2. Построить кривую
y x2 4
Возведем в квадрат обе части уравнения
y x 4
2
2
Собираем квадраты переменных в левую часть уравнения
x2 y2 4
Данное уравнение определяет гиперболу, так как знаки при квадратах
переменных разные. Кроме того, данная гипербола
является сопряженной и равнобочной
2
2
Можно записать уравнение в виде
a 2 4 a 2 мнимая полуось
b 4 b 2 действительная
x
y
1
4
4
Y
2
2
полуось
Оставляем только нижнюю ветвь
гиперболы, так как по условию
y 0
2
2
2
X

8.

4 x 2 3 y 2 12 8 x 12 y
3. Построить кривую
8
Данное уравнение определяет гиперболу (знаки при квадратах
переменных различные) со смещенным центром (есть линейная часть)
Приведем уравнение к каноническому виду
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
1
2
2
a
b
4 x 2 8 x 3 y 2 12 y 12 4( x 2 2 x) 3( y 2 4 y) 12
4( x 2 2 x 1 12 12 ) 3( y 2 2 y 2 2 2 2 2 ) 12
4[( x 1) 2 1] 3[( y 2) 2 4] 12
1
4( x 1) 4 3( y 2) 12 12
2
Y
2
4( x 1) 2 3( y 2) 2 4
2
4( x 1) 2 3( y 2) 2
1
4
4
( x 1) 2 ( y 2) 2
1
1
4/3
O ' ( 1; 2) центр гиперболы
a 1 действительная полуось
X
O'
4
2
b
мнимая полуось
3
3

9.

СПАСИБО
ЗА
ВНИМАНИЕ