Несобственный интеграл

1.

Несобственный инт-л с особенностью в верхнем пределе
B
a
B
B a
f x dx lim f x dx
f x определена на a, B , a B
f x интегрируема по Риману на любом отрезке a, , a B .
a
Несобственный инт-л с особенностью в нижнем пределе
df
B
f x dx f x dx
B
a
f x dx lim f x dx
Несобственный инт-л I-го рода с особенностью в верхнем пределе:
B , f x - ограничена
a
Несобственный инт-л II-го рода с особенностью в верхнем пределе:
B b a, , f x - неограниченна в любой окрестности точки b
a
b
f x dx lim f x dx
b 0
a
a
Несобственные инт-лы I-го и II-го рода с особенностью в нижнем пределе
определяются аналогично.
Общее понятие несобственного интеграла от функции f
по промежутку с концами A , B , A B .
B
df
k
xi
f x dx f x dx
i 1 xi 1
A
1) A x0 x1 ... xk 1 xk B ,
2) f интегрируема по Риману на любом отрезке, не содержащем точек x0 , x1 ,..., xk
xi
B
З а м е ч а н и е . Если хотя бы один интеграл f x dx расходится, то f x dx расходится.
1
xi 1
A

2.

П р и м е р 4.1. При 0 интеграл
При 0 интеграл
1
1
dx
–
собственный
и
его
значение
равно
.
0 x
1
1
dx
0 x несобственный, причем
1
1
, 1;
dx x1
1
x1
lim
1
0 x 1 1 x 0 1
0
, 1.
1
dx
Следовательно, интеграл сходится при 1 и расходится при 1 .
x
1
1
, 1;
dx x1
x1
1
П р и м е р 4.2.
lim
1
x 1
x
1 1
1
1
, 1,
dx
Следовательно, интеграл сходится при 1 и расходится при 1 .
x
1
2

3.

sin x dx расходится, так как
П р и м е р 4.3.
0
sin x dx 1 cos , 0
0
и lim не существует.
П р и м е р 4.4.
Способ 1.
x
0
Способ 2.
e dx lim e dx lim e
x
e dx e
x
Короткая запись:
0
x
0
0
0
lim e 1 1 .
lim e 1 1.
e dx e
x
x
x
0
1
0
3

4.

Свойства несобственного интеграла
с особенностью в верхнем пределе
B
1. Существование интеграла f x dx эквивалентно существованию интеграла
a
B
f x dx , c a, B .
c
B
B
2. Если f x dx сходится, то lim f x dx 0 .
c B
a
c
B
3. Если f неотрицательна и непрерывна на a, B , то интеграл f x dx равен площади
a
неограниченного открытого множества A x, y a x B, 0 y f x .
B
B
4. Линейность. Если интегралы f x dx и g x dx сходятся, то
a
a
,
B
интеграл f x g x dx сходится и
a
B
B
B
a
a
a
f x g x dx f x dx g x dx .
5. Интегрирование неравенств
B
B
a
a
Если интегралы f x dx и g x dx сходятся и x a, B f x g x , то
B
B
a
a
f x dx g x dx .
4

5.

6. Формула Ньютона-Лейбница. Если F – какая-либо первообразная функции f на a, B и f x
интегрируема по Риману на каждом из отрезков c, d a, B , то
F b 0 F a , B b ;
f
x
dx
F
B
F
a
a
F F a , B .
Причем, либо обе части выражения существуют и равны, либо они одновременно не имеют смысла.
B
1
1
dx
dx
З а м е ч а н и е . Интеграл 2 расходится, так как расходится интеграл 2 , но если формальное
x
x
0
0
1
1
dx
1
1 1 2
применить к нему формулу Ньютона-Лейбница получим 2
x
x
1
1
7. Интегрирование по частям. Пусть
1) a, , a B u x , v x C 1 a , ;
B
B
a
a
2) сходится хотя бы один из несобственных интегралов udv , vdu ;
3) существует предел lim u x v x .
x B
x B
B
Тогда существуют оба интеграла, и имеет место равенство
8. Замена переменной в несобственном интеграле. Если
1) t монотонна и t C 1 , , ;
B
udv uv vdu .
B
a
a
a
2) f x C a , B , a , B lim t ;
t
B
a
Тогда f x dx f t t dt , причем интегралы либо оба сходятся, либо оба расходятся.
5

6.

П р и м е р 4.5.
xe dx xde xe
x
0
x
x
0
0
e dx lim xe
x
x
0
x
0 e
x
0
1.
Короткая запись:
xe dx xde xe
x
0
x
x
0
0
e dx e
x
x
0
1
0
П р и м е р 4.6.
1
1
1
ln xdx x ln x xd ln x 0 lim x ln x dx 1.
1
x 0
0
0
0
0
Короткая запись:
1
1
1
0
0
ln xdx x ln x xd ln x dx 1
1
0
0
6

7.

Связь интегралов I-го и II-го рода
b
Если
f x C a , b , то несобственный интеграл f x dx по конечa
ному промежутку a, b (II-го рода) может быть заменой переменной сведен к
несобственному интегралу по неограниченному промежутку (I рода).
Например, замена x
dx
b a
t 1
2
bt a
a x
(или, что то же самое, t
):
x b
t 1
dt , x 0 a, x b ,
bt a b a
f
x
dx
f
a
0 t 1 t 1 2 dt .
b
7

8.

Исследование
на сходимость
несобственных
интегралов
8

9.

Признаки сходимости для знакопостоянных функций
B
Теорема 4,4. Пусть x a, B f x 0 . Несобственный интеграл f x dx
a
сходится тогда и только тогда, когда все интегралы f x dx , a B ограниa
B
a
a B a
чены в совокупности. При выполнении этого условия f x dx sup f x dx .
Пусть f x dx, a B .
f 0 возрастает.
a
B
lim f x dx lim .
f x dx сходится существует конечный предел
B
B
a
a
Предел lim конечен функция ограничена сверху.
B
Следовательно, для интегрируемой в несобственном смысле функции f x
B
f x dx lim sup f x dx .
a
B
a B a
9

10.

Теорема сравнения 4,5. Пусть x a, B 0 f x g x . Тогда
B
B
a
B
a
B
a
a
f x dx сходится g x dx сходится;
f x dx расходится g x dx расходится.
Следствие 1. Пусть lim
x B
f x
g x
K , 0 K . Тогда
B
B
a
B
a
1) если 0 K и g x dx сходится, то f x dx сходится;
B
2) если 0 K и g x dx расходится, то f x dx расходится.
a
В частности, если 0 K , то интегралы
a
B
B
a
a
f x dx и g x dx сходятся и расходятся одновременно.
Следствие 2.
Интегралы I рода. Если при достаточно
больших x функция f x имеет вид
f x
Тогда интеграл
x
x
Интегралы II рода. Пусть в некоторой левой
окрестности b функция f x имеет вид
f x
, 0.
f x dx :
a
– сходится, если 1 и x c ;
– расходится, если 1 и x c 0 .
x
b x
, 0.
b
Тогда интеграл
f x dx
a
– сходится, если 1 и x c ;
– расходится, если 1 и x c 0 .
10

11.

П р и м е р 4 , 9 . Исследуем на сходимость интегралы:
1
ln x 2 x
x3 7
dx
I
dx
,
,
.
I1 5
dx
I
2
3
2
10
5
x
x x 2
1 x
1
0
0
1. Интеграл I1 имеет единственную особенность при x , так как
x 0 x5 x 2 2 x 2 x3 1 2 0 .
x3 7
При x 5
x x2 2
ность I рода и 2>1).
1
, следовательно, интеграл I1 сходится (особенx2
2. Интеграл I 2 расходится, так как
1
ln x 2 x
x
dx
1
ln x 2
x
2ln x
dx
dx ln ln x 0 .
x
1
3. Интеграл I 3 имеет единственную особенность при x 1 Определим
порядок малости подынтегральной функции при x 1 .
1
1
1
1
1
t 1 x
5
1/5 .
10 t Ё 0 5
5
5
10 t
1 1 10t
1 x10
1 1 t
Следовательно, интеграл I 3 сходится (особенность II рода и
1
1 ).
11
5

12.

П р и м е р 4 , 1 0 . Исследуем на сходимость интегралы
dx
dx
I1
и I2
.
x 1 x 5
x 1 x 5
10
4
Обозначим f x
1
x 1 x 5
Интеграл I1 имеет одну особенность. Интеграл I1 сходится, так как
при x f x
1
и 2>1.
2
x
Интеграл I 2 имеет 2 особенности, поэтому разобьем интеграл по аддитивности
на сумму интегралов, каждый из которых имеет одну особенность:
5
10
dx
dx
dx
I2
.
x
1
x
5
x
1
x
5
x
1
x
5
5
10
4
Первый из этих интегралов расходится, так как при x 5 f x
1
,
4 x 5
а значит, расходится и интеграл I 2 .
12

13.

З а м е ч а н и е . Если несобственный интеграл разбивается на сумму интегралов
по аддитивности и хотя бы один из полученных интегралов расходится, то расходится и исходный интеграл. Если же разбиение на сумму интегралов произошло
по линейности, то расходимость одного из интегралов не означает расходимость
исходного. Рассмотрим интеграл из предыдущего примера:
dx
1
dx
1
dx
1/ 4 1/ 4
.
I1
dx
x 1 x 5 10 x 5 x 1
4 10 x 5 4 10 x 1
10
Первый интеграл в этой сумме расходится и напрашивается вывод о расходимости исходного интеграл, но это неправда. Ошибка заключается в том, что свойство линейности разрешает разбивать несобственный интеграл на сумму только
если хотя бы один из ДВУХ полученных интегралов сходится (в нашем случае оба
интеграла расходятся). Если интеграл разбивается по линейности на сумму большего
количества интегралов, то свойство будет работать только если среди полученных
1
1
2 dx
x 5 x
10
интегралов не более одного расходящегося. Например, интеграл
расходится, так как
1
1
1
1
dx
dx
10 x 5 x2 10 x 5 10 x 2 dx
расходится
сходится
13

14.

Общие признаки сходимости
B
Критерий Коши. Интеграл f x dx сходится
a
f x dx .
0 a B , B
B
f x dx lim , где f x dx .
a
B
a
Критерий Коши существования предела lim :
B
0 a B , B
a
a
f x dx f x dx f x dx
B
Теорема 4,6. f x dx сходится
a
B
f x dx сходится.
a
0 a B , B
f x dx f x dx f x dx .
14

15.

B
Интеграл f x dx называется:
a
B
– абсолютно сходящимся, если сходится интеграл f x dx ;
a
B
– условно сходящимся, если он сходится, а интеграл f x dx расходится.
a
B
Если интеграл f x dx сходится абсолютно, то f x абсолютно интегрируема.
a
Замечания:
1 . Для знакопостоянных функций подразделение на абсолютную и условную сходимость не имеет смысла.
2 . Для установления сходимости несобственного интеграла от знакопеременной функции теорема сравнения и ее следствия не применимы. Но если с их
B
B
a
a
помощью установить сходимость f x dx , то f x dx будет сходиться абсоB
лютно, а значит, будет сходиться и f x dx .
a
15

16.

Теорема 4,7. Если f x абсолютно интегрируема, а g x ограничена на a, B ,
то f x g x абсолютно интегрируема на a, B .
g x ограничена C x, a x B
g x C
x, a x B
f x g x C f x .
B
В силу теоремы сравнения интеграл f x g x dx сходится абсолютно.
a
Замечания:
1 . Для собственных интегралов:
если f x и g x интегрируемы, то f x g x интегрируема.
Для несобственных интегралов:
1
1
f x 1/ 2 , g x 3/ 4 интегрируемы в несобственном смысле на 0,1 ,
x
x
1 1
1
f x g x 1/ 2 3/ 4 5 / 4 не интегрируема на 0,1 .
x x
x
2. Если подынтегральная функция знакопеременная, то все рассмотренные признаки
сходимости могут установить лишь абсолютную сходимость. Если же интеграл от данной функции сходится, но не абсолютно, или расходится, то различить эти случаи
с помощью приведенных выше признаков нельзя.
16

17.

Признак Дирихле
Признак Абеля
B
Интеграл f x g x dx сходится, если
a
1) функция f x dx
a
ограничена на a, B ;
B
1) интеграл f x dx сходится;
a
2) g x монотонна на a, B ;
3) lim g x 0 .
x B
3) g x ограничена на a, B .
18

18.

B
a
a
Признак Дирихле. Интеграл f x g x dx сходится, если функция f x dx
ограничена на a, B , а g x монотонна на a, B и lim g x 0 .
x B
Пусть L sup . По второй теореме о среднем значении , a B
a , B
f x g x dx g f x dx g f x dx , .
Следовательно, 0 a B , B
f x g x dx g f x dx g f x dx L g g .
B
Признак Абеля. Интеграл f x g x dx сходится, если f x интегрируема на a, B
a
в несобственном смысле, а g x монотонна и ограничена на a, B .
Признак Абеля вытекает из признака Дирихле:
1) для ограниченной монотонной функции g x существует конечный предел:
lim g x A ,
x B
2) f x g x f x A f x g x A .
19

19.

Замечания:
1 . Признаки Абеля и Дирихле можно применять как для знакопеременных,
так и для знакопостоянных подынтегральных функций.
2 . Признаки Абеля и Дирихле являются лишь достаточными признаками
сходимости несобственных интегралов, поэтому с их помощью невозможно
обосновать расходимость.
3 . Если сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции
f x доказана с помощью признака Абеля или признака Дирихле, то вопрос о
характере сходимости остается открытым. Для того чтобы определить, сходится
интеграл
условно
или
абсолютно,
необходимо
провести
исследование
B
сходимости интеграла f x dx .
a
20

20.

П р и м е р 4.13. Докажем абсолютную сходимость интеграла
sin 3 x
0 3 x4 2 dx .
Запишем интеграл
0
sin 3 x
3
x 2
4
dx в виде суммы
1
0
0
1
* * *.
Первый интеграл является собственным и не влияет на сходимость
исходного интеграла, поэтому достаточно исследовать на сходимость
интеграл
1
sin 3 x
3
x 2
4
dx . Последний интеграл в силу теоремы сравнения
сходится так как
sin 3 x
dx
dx
и
интеграл
1 x 4/3 сходится.
1 3 x 4 2 dx 1 x 4/3
21

21.

П р и м е р 4.14. Докажем сходимость при 0 интеграла
cos x
a x dx , a 0 .
Интеграл сходится в силу признака Дирихле, так как
1) cos x dx sin a sin sin a sin 2 ,
a
1
2,3) функция g x убывая, стремится к 0 при x .
x
З а м е ч а н и е . Аналогично доказывается сходимость при 0
sin x
dx , a 0 .
x
a
интеграла
22

22.

П р и м е р . Докажем расходимость интеграла
sin 2 x
5 x dx .
Подынтегральная функция положительна, но доказать расходимость интеграла с помощью теоремы сравнения не получится.
Для доказательства расходимости представим исходный интеграл
в виде суммы расходящегося и сходящегося.
sin 2 x dx 1 1 cos 2 x
1 1
1 cos 2 x
5 x 2 5 x dx 2 5 xdx 2 5 x dx .
Первый интеграл расходится, а второй сходится в силу признака
Дирихле:, так как
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2
1) cos 2 x dx
1,
2
1
5
2,3) функция g x
1
убывая, стремится к 0 при x .
x
23

23.

П р и м е р 11.12. Исследуем на абсолютную и условную сходимость интегралы
cos x
sin x
,
dx
a x
a x dx , a 0 , 0 .
(11.15)
sin x
dx сходятся абсолютно, так как
x
a
I. При 1 интеграл
sin x
1
1
и
сходится
интеграл
dx
dx
a x
a x
a x dx .
sin x
dx сходится условно.
x
a
II. Пусть теперь 0 1 . Покажем, что
Интеграл
sin x
a x dx сходится в силу признака Дирихле, так как
1) a, sin x dx cos a cos cos a cos 2 ,
a
2,3) функция g x
1
, монотонно убывая, стремится к 0 при x .
x
24

24.

Определим характер сходимости, для этого исследуем на сходимость
sin x
2
интеграл
.
Так
как
x
sin
x
sin
x , то, доказав расходимость
dx
x
a
sin x
sin 2 x
интеграла
,
мы
докажем
и
расходимость
интеграла
dx
dx .
x
x
a
a
sin 2 x
1 1
1 cos 2 x
(11.16)
a x dx 2 a x dx 2 a x dx .
По аналогии со сходимостью интеграла
сходимость интеграла
a
cos 2 x
x
sin x
a x dx
доказывается
dx . Учитывая, что при 0 1 интеграл
sin 2 x
1
a x dx расходится, из (11.16) получаем расходимость интеграла a x dx .
cos x
dx при 1 сходится
x
a
Аналогично доказывается, что и интеграл
абсолютно, а при 0 1 – условно.
25

25.

1
Главное значение несобственного интеграла
Пусть f x определена на прямой x и интегрируема на любом
сегменте.
Функция f x называется интегрируемой по Коши, если существует предел
R
R
lim f x dx V . p. f x dx ,
R
называемый главным значением несобственного интеграла от функции f x
в смысле Коши.
Пусть f x определена на a, b , кроме, быть может, точки c , a c b ,
и интегрируема на любом сегменте, не содержащем c .
Функция f x называется интегрируемой по Коши, если существует предел
b
b
c
lim f x dx f x dx V . p. f x dx ,
0
c
a
a
называемый главным значением несобственного интеграла от функции f x в смысле
Коши.
26

26.

1
Замечания:
1.
Если несобственный интеграл
f x dx , не имеющий особенностей II рода,
существует, то его значение совпадает с главным значением, поэтому говорить
о главном значении имеет смысл только для расходящегося несобственного
интеграла.
2 . Из определения главного значения несобственного интеграла следует, что если
функция f x :
нечетна, то V.p.
f x dx 0 ,
четна, то V.p.
0
f x dx 2 f x dx , т. е несобственный интеграл f x dx
в смысле главного значения существует лишь одновременно с несобственным
интегралом
f x dx .
0
3 . Если несобственный интеграл
f x dx не существует, то V.p. f x dx может
как существовать, так и не существовать.
27

27.

1
П р и м е р . Функция
1
не интегрируема в несобственном смысле на 2,8 ,
x 3
но она интегрируема по Коши:
8
3 dx
dx
dx
V.p.
lim
0
x
3
x
3
x
3
2
3
2
8
3
8
lim ln x 3 2 ln x 3 3
0
lim ln ln 2 3 ln 8 3 ln ln 5 .
0
П р и м е р 4 . 1 6 . Функция
x
x 1 4
2
не интегрируема в несобственном смысле
на промежутке , , но она интегрируема по Коши:
V.p.
x
x 1 4
2
t 1
dt
2
t 4
dx [t x 1] V.p.
R
R
R
t
1
1
t
lim 2
dt 2
dt lim 2 2
dt arctg
R
20
2
t 4 R 0 t 4
R
R t 4
четная
нечетная
30