Геометрические приложения определенного интеграла

1.

Лекция 10
Геометрические приложения
определенного интеграла.
1.
Вычисление площадей плоских фигур.
1) В декартовых координатах.
b
f ( x ) 0 , S
f ( x )dx
a
b
f ( x ) 0 , S
f ( x )dx
a

2.

f1 x
f1 ( x ) f 2 ( x ) ,
b
S
( f1 ( x ) f 2 ( x ))dx
a
a
d
f ( y ) 0 , S
f ( y )dy
c
d
c
f2 x
b
x f ( y)

3.

Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
2
параболой y x , прямыми x 1, x 2
и осью абсцисс.
Решение.
2
3 2
x
S
x dx
3
1
2
1
2
1
3

4.

2) В параметрической форме.
x x t ,
y y t ,
t ,
a x ,b x
b
b
a
a
S
f ( x )dx
ydx
y ( t )x
t dt
x x t , dx x
t dt
S
y ( t )x
t dt

5.

Пример.
Вычислить площадь эллипса.
Решение.
Уравнения эллипса в параметрической форме:
b
x a cos t
y b sin t
a
a
0
a
S 2 ydx 2 b sin t d (a cos t )
0
2 ab sin tdt ab
2

6.

3) В полярных координатах.
Площадь криволинейного сектора, ограниченного
кривой ( ) и лучами ,
1 2
S
d
2

7.

Пример.
Вычислить площадь, заключенную внутри
2
2
лемнискаты Бернулли a cos 2 .
Решение.
Фигура симметрична,
вычислим одну четвертую
площади:
4
a
4
1
1 2
a sin 2 a
S
a cos 2 d
4
20
2 2 0 4
2
S a
2
2

8.

2. Вычисление длины дуги кривой.
L
1) В декартовых координатах.
L : y f x .
b
l 1
f
x
dx
2
a
2) В параметрической форме.
x x t
L : y y t
z z t
t ,
a
b

9.

l x
t y
t z
t dt
2
2
2
Пример.
Вычислить длину витка винтовой линии
x a cos t
y a sin t
c
z
t
2
Решение.
2
2
2
c
c
2
l a 2 dt 2 a 2
4
4
0
2

10.

3) В полярных координатах.
l
d
2
2
Пример.
Вычислить длину окружности
2a cos радиуса a .
Решение.
a
/2
l 2
2
a
sin
0
4a
/2
2
4a cos d
d 4a
0
2
/2
0
2
2 a .

11.

3. Вычисление площади поверхности
вращения .
1) В декартовых координатах.
Площадь поверхности, образованной вращением
кривой y f x , a x b вокруг оси Оx
b
Qx 2
f x 1
f
x
dx
2
a
2) В параметрической форме.
x x t
L:
y y t
t1 t t 2 ,

12.

t2
Qx 2
y t
x
t
y
t
dt
2
2
t1
3) В полярных координатах.
( ),
Qx 2
sin
d
2
2

13.

4. Вычисление объёмов тел.
1) Вычисление объёмов по заданным площадям
поперечных сечений.
S S x - площадь любого сечения тела
плоскостью, перпендикулярной оси Оx.
S x
y
a
b
Объём тела
b
x
V
S x dx
a

14.

Пример.
Найти объём тела, основание которого – круг
радиуса a , а сечение плоскостью,
перпендикулярной любому диаметру круга равнобедренный треугольник высотой h.
z
Решение.
Основание треугольника
2y 2 a x .
2
a
2
y
1
2
2
2
2
S x 2 a x h h a x
2
x

15.

a
a
V h a x dx 2h a x dx
2
2
2
a
2
0
a
x
a
x a h
2
2
2h a x arcsin
2
a
2
2
0
2
2

16.

2) Вычисление объёмов тел вращения.
Если криволинейная
трапеция, ограниченная
кривой y f x , a x b,
вращается вокруг оси Оx,
то объём тела вращения
y
b
Vx
f x dx
2
a
Здесь
S x f
2
y f x
x
a
b x

17.

Пример.
Найти объём конуса с высотой H и
радиусом основания R .
y
Решение.
H
R
y
x
H
3 H
R 2
R x
V x 2 x dx
2
H 3
0 H
H
2
2
0
R
1
2
R H
3
x

18.

Несобственные интегралы.
Если функция f ( x ) непрерывна на интервале
a, ,то
b
f
(
x
)
dx
lim
f
(
x
)
dx
a
b
a
называется несобственным интегралом
первого рода.

19.

Точно также, для интервала
b
b
, b
f ( x )dx lim
f ( x )dx
a
a
Если предел существует и конечен, то
несобственный интеграл называется сходящимся.
Если предел не существует, или бесконечен, то
несобственный интеграл называется расходящимся.
Для интервала
,
c
c
f ( x )dx
f ( x )dx
f ( x )dx

20.

Обобщённая формула Ньютона-Лейбница.
Если F x - первообразная для функции f x
на промежутке a , , то
b
f
(
x
)
dx
lim
f
(
x
)
dx
b
a
a
lim F b F a F x
b
Точно также,
b
f ( x )dx F x
f ( x )dx F x
a
b
F F

21.

Пример.
Вычислить несобственные интегралы, или
доказать что они расходятся.
dx
1
1) 2 1 0 1 1 (сходится)
x
1 x
dx
2) ln x 1 lim ln( ) ln1 0
x
x
1
(расходится)
3)
cos xdx sin x
0
0
lim sin x
x
(предел не существует, поэтому интеграл
расходится)

22.

Признаки сходимости интегралов
с бесконечными пределами.
Признаки сравнения
1.
Пусть при a x , 0 f x g x .
Тогда, если
сходится,
g
x
dx
a
то сходится
и
Если
f x dx .
a
расходится,
f
x
dx
a
то расходится и
g x dx .
a

23.

2.
Если при a x
f x 0, g x 0
и существует конечный предел
lim
x
f x
g x
0,
то интегралы
a
a
f x dx ,
g
x
dx
ведут себя одинаково в отношении сходимости
и расходимости.

24.

Пример.
x 1
dx .
3
x
1
Исследовать на сходимость
Решение.
x 1
x
dx
x
1
3
x
x
2 x
3
1
1
x
2 lim x 1 расходится
x
расходится и исходный интеграл.

25.

Несобственные интегралы второго рода.
Если функция f ( x ) непрерывна на интервале
a , b и неограничена вблизи b,
a b1 b, то
кроме того
b
f
(
x
)
dx
lim
a
b1 b 0
b1
f
(
x
)
dx
a
называется несобственным интегралом
второго рода.

26.

Точно также, для функции f x ,
непрерывной на a , b и неограниченной
вблизи точки a :
b
f
(
x
)
dx
lim
a
a1 a 0
b
f
(
x
)
dx
.
a1
Если предел существует и конечен, то
несобственный интеграл называется сходящимся.
Если предел не существует, или бесконечен, то
несобственный интеграл называется расходящимся.

27.

Для функции f x , непрерывной на отрезке a , b
c
и неограниченной
вблизи
всюду,
кроме некоторой
точки
c a c b ,
b
c
b
a
a
c
f ( x )dx
f ( x )dx
f ( x )dx .
Если каждый из интегралов в правой части
равенства сходится, то несобственный интеграл
b
называется
сходящимся.
f
(
x
)
dx
a
В противном случае – расходящимся.

28.

Пример.
Исследовать на сходимость
2
1
2 x dx.
0
Решение.
Функция
1
f x
не ограничена при x 2.
2 x
По обобщенной формуле Ньютона-Лейбница:
b1
2
1
1
dx lim
dx
b1 2 0
2
x
2 x
0
0
lim 2 2 x
b1 2 0
b1
0
0 2 2 2 2.
несобственный интеграл сходится.

29.

Признаки сходимости несобственных интегралов
от неограниченных функций такие же, как и
признаки сходимости интегралов с бесконечными
пределами.