Понятия теории вероятностей, используемые в теории надежности. Лекция 4

1.

Л4-1
ЛЕКЦИЯ 4
Понятия теории вероятностей,
используемые в теории
надежности

2.

Л4-2
Некоторые понятия теории вероятности,
используемые в теории надежности:
● закон распределения случайной величины;
● функция распределения;
● плотность распределения;
● математическое ожидание;
● дисперсия;
● кванти́ли;
●обработка опытов по статическим данным;
● доверительный интервал;
● доверительная вероятность.

3.

Л4-3
Закон распределения случайной величины*) соотношение, устанавливающее связь между
возможными значениями случайной величины и их
вероятностями.
Например, закон распределения дискретной
случайной величины Х отображается в таблице 1.1
(или рядом распределения) :
Таблица 1.1
Xi
X1
X2
X3
…
Xn
Pi
P1
P2
P3
…
Pn
*) рассмотрение некоторых законов распределения
случайных величин (например показателей безотказной
работы систем) вынесено в отдельную лекцию.

4.

Л4-4
Функция распределения F(x) или интегральная
функция распределения или интегральный закон
распределения (как прерывных, так и непрерывных)
случайных величин :
F(x) = P (X < x),
где количественная оценка распределения
вероятностей является не вероятностью события X=x,
а вероятностью события Х< х, здесь х – текущая
переменная
(см. рис 1.1 слайд I-л 1-29)

5.

Л4-5
Свойства функции распределения
F(x)
1
0
1. F(x) – неубывающая функция, т.е. при x2>x1
F(x2) ≥ F(x1).
1. F (- ∞) = 0.
2. F (+ ∞) = 1.
x

6.

Л4-6
Плотность распределения (или плотность
вероятности, или дифференциальная функция
распределения, или дифференциальный закон
распределения) случайной величины Х с функцией
распределения F(x) :
dF ( x )
F
(
x
Δ
x
)
F
(
x
)
ƒ(х) = F ‘(x) = lim
=
,
∆x 0
dx
Δx
характеризует плотность распределения случайной
величины (или вероятность попадания) на участке от x
до х+∆х, или среднюю вероятность, приходящуюся на
единицу длины на этом участке.

7.

Л4-7
Кривая, изображающая плотность распределения
случайной величины, называется кривой
распределения.
f(x)
0
Рис. 1.2
x

8.

Л4-8
Математическое ожидание (МОЖ) есть среднее
(или средневзвешенное) значение случайной
величины.
Для дискретной случайной величины МОЖ есть
сумма средних значений.
Для непрерывной случайной величины МОЖ есть
интеграл
M ( X ) xf ( x)dx,
где f (x) - плотность распределения случайной
величины x.

9.

Л4-9
Для дискретной случайной величины X, имеющей
значения x1, x2, …, xn с соответствующими
вероятностями p1, p2, … , pn, среднее значение (или
математическое ожидание) :
n
x p
x1 p1 x 2 p2 ... x n pn
M(X )
i 1n
p1 p2 ... pn
i
p
i 1
n
т .к . pi 1, то M [ X ]
i 1
n
x p
i 1
i
i
i
,
i

10.

Л4-10
Дисперсия случайной величины Х есть МОЖ квадрата
отклонения случайной величины Х от её
математического ожидания :
D[ X ] M [( X M [ X ]) ],
2
n
т.е.
D[ X ] ( xi mx ) pi ;
2
i 1
D( X ) ( x mx ) f ( x)dx
2
где mx M [X ].

11.

Л4-11
Дисперсия случайной величины имеет
размерность КВАДРАТА случайной величины.
Для наглядной характеристики рассеивания
(отклонения от случайной величины в обе стороны)
используют величину, размерность которой совпадает
с размерностью случайной величины.
Для этого из дисперсии извлекают квадратный
корень, и полученную величину называют СКО
(средним квадратическим отклонением ) случайной
величины Х :
[ X ] D[ X ].

12.

Л4-12
Квантили – это интервалы одномерного
распределения, попадания в которые имеют равные
вероятности.
Кванти́ли:
x 1 , x 1 , x3 ;
4
Деци́ли:
2
4
x0,1 ; x0, 2 ...x0,9 ;
x0, 01; x0, 02 ...x0,99
Проценти́ли:
делят область изменения x соответственно на 4,
10, 100 интервалов.

13.

Л4-13
Обработка опытов.
Значение искомого параметра, вычисленное на
основе ограниченного числа опытов, всегда содержит
элемент случайности.
Случайное значение параметра называют оценкой
параметра:
● оценкой для МО может служить среднее
арифметическое опытных значений случайной
величины в n независимых опытах ;
● при очень большом числе опытов среднее
арифметическое близко к МО.

14.

Л4-14
Доверительный интервал – это интервал значений
параметра, совместимыx с опытными данными и не
противоречащих им.
Причем, величина параметра не случайна, случаен
интервал, его положение на оси абсцисс, его длина,
(т.е. доверительную вероятность в связи с этим
трактуют не как вероятность «попадания» параметра в
доверительный интервал, а как вероятность того, что
доверительный интервал накроет параметр).