Решение задачи об изгибе пьезополуплоскости с внутренними отверстиями и трещинами

1.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ
ПЬЕЗОПОЛУПЛОСКОСТИ С ВНУТРЕННИМИ
ОТВЕРСТИЯМИ И ТРЕЩИНАМИ

2.

Уравнения равновесия:
xy
x
xz
0,
x
y
z
xy
y
yz
0,
x
y
z
yz
xz
z
0;
x
y
z
(1)
Уравнения вынужденной электромагнитостатики:
Dx D y
0,
x
y
E x E y
0;
y
x
Bx B y
0;
x
y
H x H y
0.
y
x
(2)

3.

Уравнения электромагнитоупругого состояния:
x s11 x s12 y s16 xy g11Dx g 21D y p11Bx p21B y ,
y s12 x s22 y s26 xy g12 Dx g 22 D y p12 Bx p22 B y ,
xy s16 x s26 y s66 xy g16 Dx g 26 D y p16 Bx p26 B y ,
Ex g11 x g12 y g16 xy 11Dx 21D y 11Bx 21B y ,
(3)
E y g 21 x g 22 y g 26 xy 12 Dx 22 D y 12 Bx 22 B y ,
H x p11 x p12 y p16 xy 11Dx 21D y 11Bx 21B y ,
H y p12 x p22 y p26 xy 12 Dx 22 D y 12 Bx 22 B y .
Соотношения Коши для малых деформаций и потенциальности
электрического и магнитного полей:
u
v
u v
, y
, xy
,
x
y
y x
Ex
, Ey
,
x
y
Hx
, Hy
.
x
y
x
(4)

4.

Будем считать, что имеют место гипотезы Кирхгоффа-Лява и дополним их
естественными условиями на потенциалы поля. Будем считать, что
скалярные потенциалы действующих на плиту электрического и магнитного
полей линейно зависят от координаты по толщине:
( х, y ) z 0 ( х, y ), ( х, y ) z 0 ( х, y )
0 ( х, y ), 0 ( х, y ) - плотности по толщине плиты потенциалов
электрического и магнитного полей.
(5)

5.

Разрешив систему уравнений электромагнитоупругого состояния
относительно напряжений и индукций, получим:
x b11 x b12 y b16 xy cg11E x cg 21E y c p11H x c p 21H y
y b12 x b22 y b26 xy cg12 E x cg 22 E y c p12 H x c p 22 H y
xy b16 x b26 y b66 xy cg16 E x cg 26 E y c p16 H x c p 26 H y
Dx cg11 x cg12 y cg16 xy d g11E x d g12 E y d p11H x d p12 H y
(6)
D y cg 21 x cg 22 y cg 26 xy d g 21E x d g 22 E y d p 21H x d p 22 H y
Bx c p11 x c p12 y c p16 xy d p11E x d p12 E y e p11H x e p12 H y
B y c p 21 x c p 22 y c p 26 xy d p 21E x d p 22 E y e p 21H x e p 22 H y
где коэффициенты связи получаются как элементы обратной матрицы:
b11 b12 b16 cg11 cg 21 c p11 c p 21
1
s
s
s
g
g
p
p
11 12 16 11 21 11 21
b12 b22 b26 cg12 c g 22 c p12 c p 22
s
s
s
g
g
p
p
12 22 26 12 22 12 22
b16 b26 b66 cg16 c g 26 c p16 c p 26
s16 s26 s66 g16 g 26 p16 p26
c
g g g
c
c
d
d
d
d
g12
g16 g11 g12 p11 p12 11
12
16 11 12 11 12
g11
c
g 21 g 22 g 26 21 22 21 22
c
c
d
d
d
c
g 22
g 26 g 21 g 22 p 21 p 22
g 21
c p11 c p12 c p16 d p11 d p12 e p11 e p12 p11 p12 p16 11 12 11 12
p p p
22
26 21 22 21 22
c p 21 c p 22 c p 26 d p 21 d p 22 e p 21 e p 22 21
(7)

6.

Введем изгибающие моменты и перерезывающие силы, а также моменты
индукций:
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
z x dz, y z y dz, xy z xy dz,
x
x
(8)
xz dz, y yz dz
dx
h
h
h
h
h
h
h
h
zDx dz, dy zDy dz, M bx zBx dz, M by zBy dz
Через которые напряжения и индукции выражаются следующим образом:
x
xz
Dx
3 x
3
2h
3 x
4 h3
z, y
3 dx
2h
3
2
h z
2
3 y
2h
3
z , xy
, yz
z, Dy
3M dy
2h
3
3 y
4 h3
3 xy
2h
3
z,
h2 z 2
z , Bx
3 bx
2h
3
(9)
z, By
3 by
2h
3
z

7.

Интегрированием по толщине плиты системы уравнений равновесия и
уравнений Максвелла, получаем систему уравнений следующего вида:
x y
q x, y ,
x
y
M dx M dy
0,
x
y
M bx M by
0,
x
y
(10)
q( x, y) z - приложенная к верхнему основанию плиты поперечная нагрузка.

8.

Введением операторов
4
4
4
4
4
L4 s D11
4 D16
2 D12 2 D66
4 D26
D22
,
4
3
2 2
3
4
x
x y
x y
x y
y
L3 g C g11
L3 p C p11
3
x
3
3
x
3
C g 21 2C g16
C p 21 2C p16
3
3
3
3
3
3
x2 y Cg12 2Cg 26 x y 2 Cg 22 y3 ,
x2 y C p12 2C p 26 x y 2 C p 22 y3 ,
(11)
2
2
2
L2 C 11
2C 12
C 22
,
2
2
x
y
x
y
2
2
2
L2 C 11
2C 12
C 22
,
2
2
x y
x
y
2
2
2
L2 C 11
2C 12
C 22
2
x
y
x
y 2
систему вида (10) запишем в виде
L4 s w L3 g 0 L3 p 0 q x, y ,
L3 g w L2 0 L2 0 0,
L3 p w L2 0 L2 0 0,
(12)

9.

Операторным решением системы (12) получаем три дифференциальных
уравнения 8 порядка относительно неизвестных функций