ЛК_1_Матрицы и опред_СЛАУ

1. Тема: Матрицы и определители

2.

Матрицей размера m x n называется
прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
Числа,
составляющие
матрицу,
называются элементами матрицы.

3.

Обозначение:
A - матрица размерности m x n
m n
a ij - элемент матрицы i –ой строки
и j -го столбца,
где
i=1,2…m
j=1,2…n

4.

a11 a12
a21 a22
A = (aij ) =
m n
...
...
a
m1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
матрица размерности m x n

5.

Две матрицы называются равными, если
у них одинаковая размерность и
совпадают строки и столбцы.
Если число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то такая матрица называется
квадратной.

6.

Пример:
0 − 2
1
A = − 2 4
5
0 −3 1
- квадратная матрица размерности 3х3

7.

Элементы матрицы aij , у которых номер
столбца совпадает с номером строки,
называются диагональными.
Если в квадратной матрице все
диагональные элементы равны 1, а
остальные элементы равны 0, то
она называется единичной.

8.

1
0
E =
...
0
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
0 ... 1
единичная матрица

9.

Матрица любого размера называется
нулевой, если все ее элементы равны 0:
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
0
0
...
0

10.

Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой или
вектором-строкой:
A = (a11 a12 ... a1n )

11.

Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей-столбцом или
вектором-столбцом:
b11
b21
B=
b
n1

12.

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
1. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, надо
каждый элемент матрицы умножить на
это число.

13.

Пусть дана матрица A = (aij )
m n
Умножаем ее на число λ: A = B
Где каждый элемент матрицы В будет:
bij = aij
i = 1,2...m
j = 1,2...n

14.

Пример.
Умножая матрицу
2 3 0
A =
1 0 4
на число 2, получим:
2 2 3 2 0 2 4 6 0
=
A 2 =
1 2 0 2 4 2 2 0 8

15.

2. Сложение матриц
Складываются матрицы одинаковой
размерности. Получается матрица той
же размерности, каждый элемент
которой равен сумме соответствующих
элементов исходных матриц.

16.

Пусть даны матрицы
Складываем их:
A = (aij )
B = (bij )
A+ B = C
Каждый элемент матрицы С:
cij = aij + bij
Аналогично проводится вычитание
матриц.

17.

Пример.
Найти сумму и разность матриц:
2 3 0
A =
1 0 4
2 1 3
A + B =
2 5 6
0 − 2 3
B =
1 5 2
2 5 − 3
A − B =
0 −5 2

18.

3. Умножение матриц
Умножение матриц возможно, если
число столбцов первой матрицы
равно числу строк второй.
Тогда каждый элемент полученной
матрицы равен сумме произведений
элементов i – ой строки первой
матрицы
на
соответствующие
элементы j-го столбца второй.

19.

A = (aij )
Пусть даны матрицы
m k
B = (bij )
k n
Умножаем их:
A B = C
m k k n
m n
Каждый элемент матрицы С:
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + aik bkj
i = 1,2...m
j = 1,2...n

20.

Пример.
Найти произведение матриц:
2 3 0
A =
1 0 4
1 0
B = 1 4
0 2
2 1 + 3 1 + 0 0 2 0 + 3 4 + 0 2 5 12
=
A B =
2 3 3 2
1 1 + 0 1 + 4 0 1 0 + 0 4 + 4 2 1 8

21.

Теперь перемножим матрицы в обратном
порядке:
1 2 + 0 1 1 3 + 0 0 1 0 + 0 4 2 3 0
B A = 1 2 + 4 1 1 3 + 4 0 1 0 + 4 4 = 6 3 16
3 2 2 3
0 2 + 2 1 0 3 + 4 0 0 0 + 2 4 2 0 8
Умножение матриц в общем случае
некоммутативно:
A B B A

22.

Перечисленные операции над матрицами
обладают следующими свойствами:
А+В=В+A
(А+В)+С=А+(В+С)
λ(А+В)= λА+λВ
А(В+С)=АВ+АС
А(ВС)=(АВ)С

23.

4. Транспонирование матриц
Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если
в ней поменяли местами строки
и столбцы.
a11 a12
a21 a22
A =
m n
...
...
a
m1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11 a21
a12 a22
T
A
=
... ...
n m
a1n a2 n
... am1
... am 2
... ...
... amn

24.

свойства операции
траспонирования:
(АТ)Т=А
(А+В)Т=АТ+ВТ
(λА)Т= λАТ
(АВ)Т= ВТАТ

25.

Пример.
Транспонировать матрицу:
1 2 3
A = 4 5 6
7 8 9
1 4 7
T
A = 2 5 8
3 6 9

26. Определители. Свойства определителей.

27.

•Определителем (детерминантом)
матрицы n-го порядка называется
число:
a11 a12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2 n
n = det A =
... ... ... ...
a n1 a n 2 ... a nn

28.

2 =
−
a11 a12
2 =
= a11a22 − a12a21
a21 a22

29.

•Правило треугольника:
+
−
a11
a12
a13
3 = a 21
a 22
a 23 = a11a 22 a33 + a 21a32 a13 + a12 a 23 a31 −
a31
a32
a33
−
a13a22a31 − a32a23a11 − a21a12a33

30.

31.

Примеры:
1)
2)
3)
3 −2
1
5
= 3 5 − (− 2) 1 = 15 − (−2) = 17
cos x sin x
sin x
cos x
= cos x − sin x = cos 2 x
cos x − sin x
sin x
cos x
2
2
= cos x + sin x = 1
2
2

32. Свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его
T
транспонировать: det A = det A
det A =
det A =
T
3
5
−2 4
3 −2
5
4
= 12 − (− 10) = 22
= 12 − (− 10) = 22

33.

2. При перестановке двух строк или
столбцов определитель изменит свой знак
на противоположный.
3
5
−2 4
−2 4
3
5
= 12 − (− 10) = 22
= −10 − 12 = −22

34.

3. Общий множитель всех элементов
строки или столбца можно вынести за знак
определителя.
a11
ka12
a21 ka22
=k
a11
a12
a21 a22

35.

1
2
36 12
1
−3
1
2
2
24 = 12 3
1
2 =
2
1 −3 4
4
1
2
1
12 2 3
1
1 =
1 −3 2
= 24 (2 − 9 + 2 −1 −12 + 3) = 24 (−15) = −360

36.

4. Определитель с двумя одинаковыми
строками или столбцами равен нулю.
1 1 3
1 1 3
2 −1 4
= 4 −3+ 6 − 6 + 3− 4 = 0

37.

5. Если все элементы двух строк (или
столбцов) определителя
пропорциональны, то определитель равен
нулю.
3 7 1
3 7 1
2 3 −1 = 2 2 3 −1 = 2 0 = 0
2 3 −1
4 6 −2

38.

6. Если каждый элемент какого-либо
ряда определителя представляет собой
сумму двух слагаемых, то такой
определитель
равен
сумме
двух
определителей, в первом из которых
соответствующий ряд состоит из первых
слагаемых, а во втором- из вторых
слагаемых.

39.

a11
a21
...
an1
a11
a21
=
...
an1
... a1 j
... a2 j
... ...
... anj
... a1 j + b1 j
... a2 j + b2 j
...
...
... anj + bnj
... a1n
... a2 n
=
... ...
... ann
... a1n
a11
... a2 n
a21
+
... ...
...
... ann
an1
... b1 j
... b2 j
... ...
... bnj
... a1n
... a2 n
... ...
... ann

40.

2 1 4
2 2 −1 4
7 2 3 = 7
7 5 5
60
2 2 4
2 −1 4
3 −1 3 = 7 3 3 + 7 −1 3
7 2+3 5
7 2 5
7 3 5
−38
98

41.

7. Если к какой-либо строке (или
столбцу)
определителя
прибавить
соответствующие элементы другой
строки (или столбца) , умноженные на
одно и то же число, то определитель не
изменится.
a11 a12
a21 a22
×
к
=
a11
a12
ka11 + a21 ka12 + a22

42.

5 −1
0
2
= 10 − 0 = 10
5 − 1 ×2
5 −1
= 0 − (− 10) = 10
+ =
0 2
10 0

43.

8. Треугольный определитель равен
произведению
элементов
главной
диагонали.
a11
0
0
a11
a12
a13
a21 a22
0 = 0
a22
a23 = a11 a22 a33
a31
a33
0
a33
a32
0

44. Привести определитель к треугольному виду и вычислить его:

2 1 4
1 2 4 ×(-2)
7 2 3 =− 2 7 3
7 5 5
5 7 5
1
2
4
=− 0
3
−5
0 − 3 − 15
×(-5)
=
1 2
4
= − 0 3 − 5 = 60
+
0 0 − 20

45. Разложение определителя по элементам строки или столбца.

Рассмотрим матрицу А размера mxn.
Выберем в этой матрице произвольно
k строк и k столбцов, где k ≤ m и k≤ n. Из
элементов, стоящих на пересечении
выделенных k строк и k столбцов,
составим определитель k-го порядка.
Все такие определители называют
минорами k-го порядка матрицы А.

46. Разложение определителя по элементам строки или столбца.

•Минором Mij элемента aij
определителя A называется такой новый
определитель, который получается из
данного вычеркиванием i-ой строки и jго столбца, содержащих данный
элемент.

47.

a11
a12
a13
det D = a21 a22
a23
a31
a32
a33
a11
a12
a13
det D = a21 a22
a23
a31
a33
a32
a21 a23
M12 =
a31 a33
a11 a12
M 23 =
a31 a32

48. Для данного определителя найти миноры: М22, М31,М43

1
3
4
M 22 = 3 − 1 4 = −28
1 −3 2
2
3
4
M 31 = − 1
5
2 = 36
1
−3 2
1 2 4
M 43 = 0 − 1 2 = 16
3 2 4

49.

Алгебраическим дополнением Aij
элемента aij определителя A называется
минор Mij этого элемента, взятый со
i+ j
знаком (−1) , т.е.
Aij = (− 1)
i+ j
M ij

50.

Aij = (− 1)
i+ j
a11
a12
a13
det D = a21 a22
a23
a31
a33
a32
A12 = (− 1)
1+ 2
A22 = (− 1)
M ij
a21 a23
M 12 = −1
a31 a33
2+ 2
a11 a13
M 22 =
a31 a33

51.

ТЕОРЕМА 1(Лапласа). Определитель
квадратной матрицы равен сумме
произведений элементов любой строки
(столбца) матрицы А на их алгебраические
дополнения.
ТЕОРЕМА 2(Лапласа). Сумма
произведений элементов любой строки
(столбца) матрицы А на алгебраические
дополнения соответствующих элементов
любой другой строки (столбца) матрицы А
равно 0.

52.

разложение по i-ой строке:
n
det D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain = aik Aik , i = 1,..., n
k =1
разложение по j-му столбцу:
n
det D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj = akj Akj ,
k =1
j = 1,..., n

53. Разложить данный определитель по элементам: 1) 3-ей строки; 2) 1-го столбца.

1 2
3 4
0 −1 5 2
3 2 −1 4
1 1 −3 2

54. 1) Разложим данный определитель по элементам 3-ей строки:

det D = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 + a34 A34 =
= a31 (−1) M 31 + a32 (−1) M 32 +
4
5
+ a33 (−1) M 33 + a34 (−1) M 34 =
6
7

55.

2
= 3 (− 1) − 1
4
1
1
3
5
4
1
2 + 2 (− 1) 0
5
3
4
5
2 +
−3 2
1 −3 2
2
1
4
2
+ (− 1) (− 1) 0 − 1 2 + 4 (− 1) 0 − 1
6
7
1
1
2
= 3 36 − 2 2 − 4 − 4 11 = 56
1
1
3
5 =
−3

56. 2) Разложим данный определитель по элементам 1-го столбца:

det D = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 + a41 A41 =
= a11 (− 1) M 11 + a21 (− 1) M 21 +
2
3
+ a31 (−1) M 31 + a41 (−1) M 41 =
4
5

57.

−1
= 1 (− 1) 2
2
5
2
2
3
4
− 1 4 + 0 (− 1) 2 − 1 4 +
3
1
−3 2
1 −3 2
2
3
2
+ 3 (− 1) − 1
4
1
5
4
2 + 1 (− 1) − 1
−3 2
= −20 + 0 + 3 36 − 32 = 56
5
2
3
4
5
2 =
−1 4

58. Основные методы вычисления определителя:

✓1. разложение определителя по
элементам строки или столбца;
✓2. метод эффективного понижения
порядка;
✓3. приведение определителя к
треугольному виду.

59.

Метод эффективного понижения
порядка:
Вычисление
определителя
n-го
порядка сводится к вычислению
одного
определителя
(n-1)-го
порядка, сделав в каком-либо ряду
все элементы, кроме одного, равными
нулю.

60.

1
2
3
4 ×(-3)
2
0 −1
5
3
2
−1 4
1
1
−3 2
×(-1)
=
1
2
3
4
0
−1
5
2
0 − 4 − 10 − 8
0
−1
−6
−2
=

61.

1
= −2
2
3
4
1
0 −1
5
2
0 −1 5 1
0
5
4
2
= − 2 2 (− 1)
0 −1 − 6 − 2
= 4 1 (− 1) 2
1
2
5 2
0
1
6 1
5 2 = 4 14 = 56
6 1
3 2
0
−1 5 1
2
2
=

62.

Приведение определителя к треугольному
виду:
1
= −2
2
3
4
1
0 −1
5
2
0 −1 5 1
0
5
4
2
= − 2 2 (− 1)
= 4
2
3 2
2
5 2
0
1
6 1
2
3
2
0 −1
5
1
0
0
15 4
0
0
11 2
1
0 − 1 5 1 ×(2)
0
2
5 2
0
1
6 1
= 4
+
+
3 2
0
0 −1 − 6 − 2
1
2
=
=

63.

1
= −4
2
2
3
1
2
3
0 −1 1
5
0 −1 1
5
0
0
4 15
0
0
2 11
1
2
= 4
= 4
2
3
0 −1 1
5
0
0
2
11
0
0
0 −7
2
0
0
2 11 ×(-2)
0
0
4 15
= 4 14 = 56

64. Обратная матрица

65. Определение. Матрица B называется о б р а т н о й к квадратной матрице A, если

A B = B A = E
−1
Обратная матрица обозначается символом A
Т.е.
−1
−1
A A = A A = E
Примечание. Операция деления для матриц не
определена. Вместо этого предусмотрена
операция обращения матрицы (нахождения
обратной) .

66. Определение. Матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов исходной матрицы , называется с о ю з н о й м а т

Определение. Матрица, составленная из
алгебраических дополнений для элементов
исходной матрицы , называется
союзной матрицей.
A11
A = A21
A
31
A12
A22
A32
A13
A23
A33

67. Формула для нахождения обратной матрицы:

1
T
A =
A
det A
−1
A11
1
−1
A =
A12
det A
A13
A21
A22
A23
A31
A32
A33

68. Алгоритм нахождения :

• 1. Находим определитель матрицы А. Он
должен быть отличен от нуля.
• 2. Находим алгебраические дополнения
для каждого элемента матрицы А.
• 3. Составляем союзную матрицу и
транспонируем ее.
• 4. Подставляем результаты п.1 и п.3 в
формулу обратной матрицы.

69. Пример. Найти матрицу, обратную к матрице:

1 2
A=
3 4
1. Находим определитель матрицы:
det A =
1 2
3 4
= 4- 6 = - 2
Определитель отличен от нуля,
следовательно, обратная матрица существует.

70.

2. Находим алгебраические дополнения:
A11 = 4
A21 = - 2
A12 = - 3
A22 = 1
3. Составляем союзную матрицу:
4. Записываем обратную матрицу по формуле
1
T
1 4 −2
A =
A = −
2 −3 1
det A
−1

71. 5. Проверка

• Воспользуемся определением обратной
матрицы и найдем произведение
A
−1
1 4 −2 1 2
A = − 2 −3 1 3 4 =
1 4 1 + ( −2 ) 3 4 2 + ( −2 ) 4 = − 1 − 2 0 = 1 0
−
0 − 2 0 1
2
−
3
1
+
1
3
−
3
2
+
1
4
2 ( )
( )

72. Задача. Найти матрицу, обратную к данной

2 −1 1
A = 3 2 1
1 −2 1

73.

74. 2. Алгебраические дополнения для первой строки:

2 1
A11 =
= 2 + 2 = 4,
−2 1
3 1
A12 = −
= − ( 3 − 1) = −2,
1 1
3 2
A13 =
= −6 − 2 = −8,
1 −2

75. Алгебраические дополнения для второй строки:

−1 1
A21 = −
= − ( −1 + 2 ) = −1,
−2 1
2 1
A22 =
= 2 − 1 = 1,
1 1
2 −1
A23 = −
= − ( −4 + 1) = 3,
1 −2

76. Алгебраические дополнения для третьей строки:

−1 1
A31 =
= −1 − 2 = −3,
2 1
2 1
A32 = −
= − ( 2 − 3) = 1,
3 1
2 −1
A33 =
= 4 + 3 = 7.
3 2

77. Обратная матрица:

4 −1 −3
1
−1
A = −2 1 1
2
−
8
3
7

78. Элементарные преобразования матриц

• перестановка строк (столбцов) местами;
• исключение из матрицы строк (столбцов),
состоящих из нулей;
• умножение всех элементов какой-либо
строки (столбца) матрицы на любое число,
отличное от нуля;
• прибавление к одной строке (столбцу)
другой, предварительно умноженной на
любое число, отличное от нуля;
• вычеркивание одной из двух
пропорциональных или равных строк
(столбцов).

79.

Определение. Минор Mk матрицы A
называется ее базисным минором, если
он отличен от нуля, а все миноры
матрицы A более высокого порядка k+1,
k+2, …, равны нулю.
Определение 1. Рангом матрицы A
называется порядок ее базисного минора.
Обозначают: r(A) или rang(A).

80.

Определение. Э к в и в а л е н т н ы м и
называются матрицы, полученные одна из
другой путем элементарных преобразований.
Теорема. Ранг матрицы не меняется при
элементарных преобразованиях.
Определение 2. Р а н г о м матрицы
называется число ненулевых строк в
матрице, после приведения ее к
ступенчатому виду путем элементарных
преобразований.

81. Методы нахождения ранга матрицы

1) Метод окаймляющих миноров.
Пусть Ms – минор порядка s.
Окаймляющим минором для минора Ms
называется любой минор порядка s+1,
содержащий минор Ms .
ТЕОРЕМА 1. Если в матрице A есть
минор k-го порядка отличный от нуля, а
все окаймляющие его миноры равны
нулю, то ранг матрицы A равен k .

82.

Найти ранг матрицы можно по следующей
схеме (Метод окаймляющих миноров):
1) Находим в матрице минор Mk порядка
k, отличный от нуля (где k 1).
2) Ищем его окаймляющий минор Mk+1
отличный от нуля. Если такого минора
не существует, то ранг матрицы равен k.
Если окаймляющий минор Mk+1 0, то
рассматриваем окаймляющие миноры
для Mk+1 и т.д.

83.

2) Метод элементарных преобразований.
Теорема. Эквивалентные матрицы имеют
равные ранги.
Теорема. Любая матрица A эквивалентна
некоторой треугольной или
трапециевидной матрице, не содержащей
нулевых и пропорциональных строк.
Причем эта треугольная или
трапециевидная матрица может быть
получена из A элементарными
преобразованиями только строк.

84.

Пример. Найти ранг матрицы методом
окаймляющих миноров:
Решение. Фиксируем
минор 2-го порядка,
отличный от нуля:
Найдем все миноры
3-го порядка,
окаймляющие M2:
Так как все окаймляющие миноры 3-го порядка
равны нулю, то r(A) = 2.