Тема_9

1.

«Вычислительная математика»
Тема 9
Решение систем
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Метод Рунге-Кутта.

2.

dy1
dx
dy 2
dx
...
dy n
dx
F1 (x, y1 , y 2 ,..., y n )
F2 (x, y1 , y 2 ,..., y n )
Fn (x, y1 , y 2 ,..., y n )
Задача Коши:
Пусть известны начальные условия при x0 = a: y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, …,
yn(x0) = yn0.
Требуется найти y1(x), y2(x),…, yn(x), проходящие через заданные точки: (x0,y10),
(x0,y20), …, (x0,yn0).
2

3.

1. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка
Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 4-го порядка для системы
ОДУ 1-го порядка:
h
(K oi 2K1i 2K 2i K 3i )
6
b a
b xm
a x0
h
m
y i, j 1 y i, j
где
m – количество узлов;
i 1, n – номер функции;
j 0,1,..., m 1
– номер узла;
K 0i Fi (x j , y1j , y 2j ,..., y nj )
h
h
h
h
, y1j K 0i , y 2j K 0i ,..., y nj K 0i )
2
2
2
2
h
h
h
h
K 2i Fi (x j , y1j K 1i , y 2j K 1i ,..., y nj K 1i )
2
2
2
2
K 1i Fi (x j
.
K 3i Fi (x j h, y1j hK 2i , y 2j hK 2i ,..., y nj hK 2i )
3