Похожие презентации:
272650 - 108 слайдов Интегральное исчисление
1.
Финансовый университетпри Правительстве Российской Федерации
Тема №6.
Интегральное исчисление
2.
Функция F (x ) называется первообразнойфункцией для функции f (x ) на множестве
Х, если в каждой точке х этого множества
справедливо равенство
F ' ( x) f ( x).
3.
ЗадачаНапример:
x является первообразной для 3x
3
2
x 3 1 тоже первообразная для 3x 2 .
Т.о. всякая непрерывная функция имеет
бесконечное множество первообразных,
которые отличаются друг от друга
постоянным слагаемым.
4.
Совокупность всех первообразных дляфункции f (x ) на множестве Х называется
её неопределённым интегралом и
обозначается
f ( x)dx.
f ( x) подынтегральная функция
f ( x)dx подынтегральное выражение
x выражение, стоящее под знаком
дифференциала
5.
Свойства неопределённого интеграла1. Производная неопределённого интеграла
равна подынтегральной функции, а его
дифференциал равен подынтегральному
выражению;
2. Неопределённый интеграл от
дифференциала с точностью до
постоянного слагаемого равен
выражению, стоящему под знаком
дифференциала
d [ f ( x)] f ( x) C;
6.
Свойства неопределённого интеграла3. Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла
k
f
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
dx
;
4. Неопределённый интеграл
алгебраической суммы конечного числа
слагаемых равен алгебраической сумме
интегралов этих слагаемых
f ( x) g ( x) ( x) dx
f ( x ) dx g ( x ) dx ( x ) dx;
7.
Свойства неопределённого интеграла5. Об инвариантности формул
интегрирования. Всякая формула
интегрирования сохраняет свой вид при
подстановке вместо независимой
переменной любой дифференцируемой
от неё функции
f ( x)dx F ( x) C f (u )du F (u ) C ,
u (x) дифференцируема по х.
8.
ЗадачаНапример:
3x dx x C;
3 sin x d (sin x) sin x C.
2
3
2
3
9.
Основные формулы интегрированияn 1
x
1. x dx
C , (n 1)
n 1
dx x C
n
dx
2.
ln x C
x
x
a
x
3. a dx
C
ln a
x
x
e
dx
e
C
10.
Основные формулы интегрирования4. cos xdx sin x C
sin xdx cos x C
dx
cos 2 x tgx C
dx
sin 2 x ctgx C
11.
Основные формулы интегрирования5.
dx
x
arcsin C
a
a2 x2
dx
1
x
6. 2
arctg C
2
a x
a
a
dx
7.
ln x x 2 a C
2
x a
dx
1
x a
8. 2
ln
C
2
x a
2a x a
12.
ИнтегрированиеРассмотрим некоторые из основных методов
интегрирования.
1. Метод разложения интеграла в сумму
интегралов
f ( x) g ( x) ( x) dx
f ( x ) dx g ( x ) dx ( x ) dx
13.
ЗадачаПример. Найти
3 x
2
3
5
x
3
dx.
5
2
3
x
x
x 2
14.
ЗадачаРешение:
3 x
2
3
5
x
3
dx
5
2
3
x
x
x 2
5
3
dx
dx
x dx 3 dx 2 x dx 3 x 5 x 2 2
3
4
x
x
2
3
x
3
x
2
2
3 ln x 5 ln x x 2 C.
2
4 ln 3
3
15.
ЗадачаПример. Найти
x 2 dx.
3
x2
16.
ЗадачаПример. Найти
x 2 dx.
3
x2
Решение: x 2 dx
x 3 6 x 2 12 x 8
dx
2
x2
x
x 3 6 x 2 12 x 8
2 2 2 2 dx
x
x
x
x
3
dx
2
x dx 6 dx 12 8 x dx
x
x2
8
6 x 12 ln x C.
2
x
17.
ЗадачаПример. Найти
2 2 dx.
x
x 2
18.
ЗадачаПример. Найти
2 2 dx.
x 2
x
Решение:
2 2 dx 2 2 2 2 2 dx
x 2
x
x 2
2 dx 2dx 2
2x
2 x
x
x
x 2
x
1
dx 4 dx 2 dx dx
4
x
x
x
4
1
1
4
4
2 x : ln C
2 x C.
ln 4
4
ln 4
4
x
x
19.
Задача2. Метод замены переменной. Метод
внесения функции под знак дифференциала.
Пример. Найти
4 3x dx.
20.
ЗадачаРешение.
4 y
4 3x y x
3 3
4 3x dx
dy
dx
3
1, 5
dy
1
1
y
0,5
y y dy
C
3
3 1,5
3
2
3
4 3 x C.
9
21.
Задачаdx
Пример. Найти
x ln x
22.
Задачаdx
Пример. Найти
x ln x
Решение:
dx
y
y
x ln x ln x y x e dx e dy
e y dy
dy
y
ln y C ln ln x C.
e y
y
23.
ЗадачаМожно использовать вместо замены
переменной метод внесения функции под знак
'
дифференциала, используя: y dx dy.
Решение:
dx
x 1dx
(ln x) ' dx
d (ln x)
x ln x ln x ln x ln x ln ln x C.
24.
ЗадачаНекоторые другие примеры внесения под
знак дифференциала:
dx
2
d (2 x ), xdx d (0,5 x ),
x
dx
d (arcsin x), e x dx d (e x ).
1 x2
25.
ЗадачаПолучение линейной функции:
d (ax b) d (ax) db adx
1
dx d (ax b).
a
26.
ЗадачаПример: Найти
dx
(2 5 x)
5
3
27.
Задачаdx
(2 5 x)
Решение:
5
3
5
3
3
5
1
(2 5 x) dx (2 5 x) d (2 5 x)
5
0, 4
(2 5 x)
0, 4
0,2
C 0,5 (2 5 x) C.
0,4
28.
ЗадачаРешение 1-го примера из этого типа:
1
0,5
4 3x dx 3 (4 3x) d (4 3x)
1 (4 3 x)1,5
2
3
4 3 x C.
3
1,5
9
29.
ЗадачаПример. Найти
e
x 2
x
dx.
30.
ЗадачаРешение:
e
2 e
x 2
x
dx e
x 2
x 2
d (2 x )
d ( x 2) 2e
x 2
C.
31.
ЗадачаПример. Найти
dx
x 1 3
Решение:
x 1 3 y x 1 ( y 3)
dx
x 1 3 x y 2 6 y 10 dx 2 y 6 dy
2
2y 6
dy
dy 2 dy 6
2 y 6 ln y C
y
y
2 x 1 3 6 ln x 1 3 C.
32.
ЗадачаПример. Найти
x
3
dx
.
x2
33.
ЗадачаПример. Найти
x
3
dx
.
x2
Решение:
dy
x 3 dx x y x y dx 2 y
x2
2
y
x2
dy
1 y
3
3
y 3
3 dy
C
C.
2 ln 3
2 ln 3
2 y 2
y
34.
Задачаили:
2
x
x
x
x2
2
x
3
dx
3
d
0
,
5
3
d
(
x
)
2
2
x2
3
C.
2 ln 3
2
35.
Интегрирование3. Метод интегрирования по частям.
d (uv) du v u dv
d (uv) v du u dv
u dv u v v du
Формула интегрирования по частям.
36.
ЗадачаПример. Найти
3x 5 ln x dx
37.
ЗадачаПример. Найти
Решение:
3x 5 ln x dx
3x 5 ln x dx
dx
u ln x du
x
2
3x
dv (3 x 5)dx v
5x
2
3x 2
3x 2
dx 3 x 2
ln x
5 x
5 x
5 x ln x
2
2
x 2
2
2
3
x
3
x
3
x
5 dx
5 x ln x
5 x C .
2
2
4
38.
ЗадачаПример. Найти
Решение:
x 3x e dx
2
4x
39.
Задачаx 3x e dx
u x 2 3x du 2 x 3 dx
4x
4x
e
e
dv e 4 x dx
d 4 x v
4
4
4x
4x
e
e
x 2 3x
2 x 3
dx
4
4
2x 3 2x 3
u
du 0,5dx
4x
e
4
4 4
2
x
3x
4x
4
e
4x
dv e dx v
4
2x 3 4x 1 4x
x 2 3x 4 x 2 x 3 4 x 1 4 x
e e dx
e
e e C
16
8
4
16
32
2
4x
40.
Интегрирование4. Интегрирование функций вида:
a1 x b1
;
2
a2 x b2 x c2
a1 x b1
a2 x 2 b2 x c2
.
41.
Интегрирование1. В числителе дроби выделить производную
a2 x 2 b2 x c2 ;
2. Разложить подынтегральную функцию на
два слагаемых;
3. Один из интегралов (первый) решается
заменой или внесением под знак
дифференциала, другой выделением полного
квадрата в знаменателе.
42.
ЗадачаПример. Найти
3 x 15
x 2 4 x 20dx.
43.
ЗадачаРешение:
3x 15
x 5
x 2 4 x 20dx 3 x 2 4 x 20dx
3 2 x 10
3 2x 4 6
dx 2
dx
2
2 x 4 x 20
2 x 4 x 20
3
2x 4
dx
dx 9 2
2
2 x 4 x 20
x 4 x 20
3 d ( x 2 4 x 20)
dx
9
2
2
2
x 4 x 20
( x 2) 16
9
x 2
2
1,5 ln x 4 x 20 arctg
C.
4
4
44.
ЗадачаПример. Найти
dx
6 4x 2x .
2
45.
ЗадачаРешение:
dx
1
dx
2
6 4x 2x2
( x 2 2 x 3)
1
dx
1
d ( x 1)
2
2
(( x 1) 2 4)
4 ( x 1) 2
1
x 1
arcsin
С.
2
2
46.
Интегрирование5. Интегрирование дробно-рациональных
функций.
Сначала выделить целую часть дроби (если
эта дробь неправильная, у которой степень
числителя больше или равна степени
знаменателя). Затем разложить дробь в сумму
простейших дробей (у которых знаменатель
не раскладывается на рациональные
множители). Применить «метод
неопределённых коэффициентов».
47.
ИнтегрированиеРазложение дробей в простейшие:
1. Корни знаменателя действительные и
различные:
P( x)
A
B
C
( x x1 )( x x2 )( x x3 ) x x1 x x2 x x3
2. Корни знаменателя кратные:
P( x)
A
B
C
3
3
2
( x x0 )
( x x0 ) ( x x0 )
x x0
48.
Интегрирование3. В знаменателе имеются комплексные корни:
P( x)
A
Bx C
2
2
( x x0 )( ax bx c) x x0 ax bx c
49.
ЗадачаПример. Найти
2x2 1
x3 3x 2dx
50.
ЗадачаРешение:
2x2 1
2x2 1
2x2 1
3
3
2
x 3x 2 x 3x 3 1 ( x 1)( x x 1) 3( x 1)
2x2 1
2x2 1
2x2 1
2
2
( x 1)( x x 2) ( x 1)( x 1)( x 2) ( x 1) ( x 2)
A
B
C
2
( x 1)
x 1 x 2
A( x 2) B( x 1)( x 2) C ( x 1) 2
( x 1) 2 ( x 2)
51.
Задача2 x 1 A( x 2) B( x 2)( x 1) C ( x 1)
2
2
2 x 2 1 Ax 2 A Bx 2 Bx 2 B Cx 2 2Cx C
B C 2
A B 2C 0
2 A 2 B C 1
52.
Задача1
11
7
A ; B ;C
3
9
9
2x2 1
1
11
7
2
2
( x 1) ( x 2) 3( x 1) 9( x 1) 9( x 2)
53.
Задача2x2 1
1
dx
11 dx
x 3 3x 2dx 3 ( x 1) 2 9 x 1
7 dx
1
11
7
ln x 1 ln x 2 C
9 x 2
3( x 1) 9
9
54.
ЗадачаПример. Найти
3x
x3 1dx
55.
ЗадачаРешение:
3x
3x
A
Bx C
2
3
2
x 1 ( x 1)( x x 1) x 1 x x 1
56.
ЗадачаРешение:
3x
3x
A
Bx C
2
3
2
x 1 ( x 1)( x x 1) x 1 x x 1
A( x x 1) ( Bx C )( x 1) 3x
2
A B 0
B A
A 1
A B C 3 C A B 1
A C 0
3 A 3 C 1
57.
Задача3x
dx
x 1
x 3 1dx x 1 x 2 x 1dx.
x 1
1 2x 1 3
x 2 x 1dx 2 x 2 x 1dx
1
2x 1
3
dx
2
dx 2
2 x x 1
2 x x 1
2
1 d ( x x 1) 3
dx
2
2
2
x x 1
2 ( x 0,5) 0,75
58.
Задача1
3
1
x 0,5
2
ln x x 1
arctg
C
2
2 0,75
0,75
1
2x 1
2
ln( x x 1) 3 arctg
C.
2
3
2x 1
Ответ : ln x 1 ln x x 1 3 arctg
С.
3
2
59.
Интегрирование6. Тригонометрические подстановки.
В интегралах, содержащих sin x; cos x
Можно использовать тангенсную подстановку:
x
2dt
t tg x 2 arctg t dx
,
2
2
1 t
2
2t
1 t
sin x
, cos x
.
2
2
1 t
1 t
60.
ЗадачаПример. Найти
dx
2 sin x cos x 1
61.
ЗадачаРешение:
dx
2 sin x cos x 1
2dt
2
4
t
1
t
2
(1 t )
1
2
2
1 t 1 t
2dt
dt
d (t 1)
2
2
2
2
4t 1 t 1 t
t 2t
(t 1) 1
1 t 1 1
1 tg (0,5 x) 2
ln
C C ln
2 t 1 1
2
tg (0,5 x)
62.
ЗадачаПример. Найти
1 x dx
2
63.
ЗадачаРешение:
x sin t
1 x dx
1 sin 2 t cos t dt
dx cos t dt
2
cos 2 t dt 0,5 (1 cos 2t )dt 0,5 dt
0,25 cos 2t d (2t ) 0,5t 0,25 sin 2t C
0,5 arcsin x 0,5 sin(arcsin x) cos(arcsin x) C
0,5 arcsin x 0,5 x 1 x C.
2
64.
ИнтегрированиеРассмотрим задачу о вычислении площади
криволинейной трапеции: Пусть на отрезке
[a; b] задана неотрицательная функция y f (x ).
Найдём площадь криволинейной трапеции,
ограниченной линиями: y f ( x), y 0, x a, x b.
Разобьём отрезок на n частичных интервалов
точками x1 , x2 , ... , xn 1. Обозначим xi xi 1 xi .
На каждом из полученных интервалов
выберем некоторую точку ti .
Si f (ti ) xi
n
S S1 ... S n f (ti ) xi
i 1
65.
Интегрированиеy
y f (x)
x
0 a 1 x2
xi 1 x i x b
ti n 1
x
66.
ИнтегрированиеСумма такого вида называется интегральной
суммой для функции y f (x) на отрезке [a; b].
Пусть существует конечный предел
интегральной суммы, который не зависит от
способа выбора точек xi , ti при стремлении к
нулю длины наибольшего частичного
интервала, тогда этот предел называется
определённым интегралом (по Риману) от
функции y f (x) на отрезке [a; b].
67.
Интегрированиеb
f
(
x
)
dx
lim
a
max xi 0
n
f (t ) x .
i 1
i
i
При этом число a называется нижним, число
b – верхним пределами интегрирования
соответственно.
68.
ИнтегрированиеГеометрический смысл определённого
интеграла. Если функция y f (x)
непрерывна и неотрицательна на отрезке [a; b],
b
То f ( x)dx численно равен площади
a
криволинейной трапеции , ограниченной
линиями y f ( x), y 0, x a, x b.
69.
Интегрированиеy
y f (x)
0
a
b
x
( y 0)
70.
ИнтегрированиеТеорема (достаточное условие
интегрируемости функции): Если функция
непрерывна на некотором отрезке, то она на
этом отрезке интегрируема (т.е. существует её
определённый интеграл).
71.
ИнтегрированиеСвойства определённого интеграла.
1. Если верхний и нижний пределы
интегрирования совпадают, то интеграл
равен нулю.
2. Если верхний и нижний пределы
интегрирования поменять местами, то
изменится знак интеграла.
3. Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла.
4. Интеграл алгебраической суммы конечного
числа слагаемых равен алгебраической
сумме интегралов этих слагаемых.
72.
Интегрирование5.
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx, c [a; b].
6. Если верхний предел интегрирования
больше нижнего и подынтегральная функция
знакопостоянна, то определённый интеграл
имеет тот же знак, что и функция.
7. Если верхний предел интегрирования
больше нижнего и b
b
f ( x) g ( x), то f ( x)dx g ( x)dx.
a
a
73.
Интегрирование8. Если верхний предел интегрирования
больше нижнего и
b
m f ( x) M , то m(b a) f ( x)dx M (b a),
a
где m и M – некоторые числа.
74.
Интегрирование9. (Теорема о среднем) Если верхний предел
интегрирования больше нижнего и
подынтегральная функция непрерывна на
отрезке интегрирования, то внутри этого
отрезка найдётся такая точка с, для которой
справедливо равенство:
b
f ( x)dx f (c) (b a).
a
75.
Интегрированиеx
Интеграл вида
f ( x)dx называется
a
интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема: Пусть функция непрерывна на
некотором отрезке. Тогда в каждой точке х
этого отрезка производная интеграла с
переменным верхним пределом этой функции
по её верхнему пределу равна
подынтегральной функции.
76.
ИнтегрированиеТеорема. Пусть функция y f (x)
непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) – любая её
первообразная для f (x) на этом отрезке.
Тогда определённый интеграл от этой
функции равен приращению первообразной
на этом отрезке.
b
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a)
b
a
a
Это формула Ньютона – Лейбница.
77.
ИнтегрированиеТеорема. Пусть функция g (t ) имеет
непрерывную производную на отрезке [c; d],
a=g(c), b=g(d) и функция f (x ) непрерывна в
каждой точке х вида х= g(t), где t принадлежит
отрезку [c; d]. Тогда справедливо равенство:
b
d
f ( x)dx f ( g (t )) g (t )dt.
'
a
c
Эта формула называется формулой замены
переменной в определённом интеграле.
78.
ИнтегрированиеТеорема. Пусть функции u=u(x), v=v(x)
имеют непрерывные производные на отрезке
[a; b]. Тогда
b
b
udv uv vdu.
b
a
a
a
Эта формула называется формулой
интегрирования по частям в определённом
интеграле.
79.
Интегрированиеy
f ( x) g ( x) x1 , x2
y g (x)
y f (x)
0
x1
x2
x2
x
S ( f ( x) g ( x)) dx
x1
80.
Интегрированиеy
y g (x)
y (x )
y f (x)
0
x1
x2
x3
x
81.
Интегрированиеf ( x) g ( x) x1
f ( x ) ( x ) x2
g ( x ) ( x) x3
x2
x3
x1
x2
S ( f ( x) g ( x)) dx ( ( x) g ( x)) dx
82.
Интегрированиеy
y2
x f ( y)
y1
0
x g ( y)
x
y2
S ( f ( y ) g ( y )) dy
y1
83.
ИнтегрированиеС помощью определённого интеграла
можно находить площади плоских фигур,
объёмы тел вращения, объёмы тел,
полученных сечением плоскостями, площади
поверхностей, длины дуг линий, центр масс
фигур (в физике) и т.д. Рассмотрим некоторые
из этих задач.
84.
ЗадачаПример. Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями
y x 3 ; y 0; x 1; x 2.
Решение:
y
1
0
2
x
85.
Задача0
4 0
2
4 2
x
x
S (0 x )dx x dx
4 1 4 0
1
0
3
3
1
0 4 0 4,25кв.ед.
4
86.
ЗадачаПример. Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями
y x 2 2; y 6 x 2 .
Решение:
y
6
2 0 2
2
x
87.
ЗадачаНайдём точки пересечения линий, которые
в свою очередь будут пределами
интегрирования.
y x 2 2
2
2
2
x
2
6
x
2
x
8 x 2.
2
y 6 x
2
2
S [ 6 x 2 x 2 2 ] dx 8 2 x 2 dx
2
2
2
2x
16
16
32 64
16 16
8 x
32
кв.ед.
3 2
3
3
3
3
3
88.
ИнтегрированиеРассмотрим задачу на нахождение объёма
тела вращения.
y f (x)
y
0 a
xi 1 xi
ti
b
x
89.
ИнтегрированиеVцил r 2 H
r f (ti ), H xi
b
V ( f ( x )) 2 dx
вокруг Ox
a
b
V ( f ( y )) 2 dy
a
вокруг Oy
90.
ЗадачаПример. Вычислить объём тела вращения
вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной
линиями y=lnx, y=0, x=1, x=e.
91.
ЗадачаРешение.
y
y ln x
0
1
e
x
92.
Задачаe
u ln 2 x du
1
dv dx v x
V ln 2 x dx
2 ln x dx
e
e
2 ln x
2
( x ln x x
dx)
x
1
x
1
2dx
e
u 2 ln x du
e
(e 2 ln x dx)
x (e 2 x ln x 1 2dx)
1
1
dv dx v x
e
(e 2e 2 x 1 ) (e 2e 2e 2) (e 2) куб.ед .
e
93.
ЗадачаПример. Вычислить объём тела вращения
вокруг оси ординат фигуры, ограниченной
2
2
линиями y x , y 0,5 x 2.
94.
ЗадачаРешение.
x2 2 y 4
y
4
2
0
x2 y
x
95.
ЗадачаРешение. Перевыразим x через y.
4
2 4
4
4
y
2
V ( ydy (2 y 4)dy ) (
( y 4 y) )
2
2
0
2
0
(8 4) 4
куб.ед .
96.
ИнтегрированиеЕсли функция непрерывна на [a; ) , то
называется
f
(
x
)
dx
интеграл вида
a
несобственным интегралом первого рода.
Аналогично
b
f ( x)dx, f ( x)dx.
97.
ИнтегрированиеВ несобственных интегралах следует
осуществлять предельный переход:
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
b
b
a
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
a
Если предел конечен, то интеграл
называется сходящимся. Если бесконечен или
не существует, то он является расходящимся.
98.
ИнтегрированиеРассмотрим:
0
0
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Если хотя бы один из двух интегралов
расходится, то исходный тоже расходится.
99.
ИнтегрированиеЕсли подынтегральная функция имеет
разрывы на отрезке интегрирования, то её
интеграл является несобственным второго
рода.
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx , где с – точка
разрыва функции на отрезке [a; b]. Затем в
обоих интегралах осуществляем предельные
переходы.
100.
Интегрированиеb
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
t
lim
t c o
b
f ( x)dx lim f ( x)dx.
a
d c 0
d
Если хотя бы один из двух интегралов
расходится, то исходный тоже расходится.
101.
ИнтегрированиеКогда невозможно найти первообразную,
можно воспользоваться «признаком
сравнения». Пусть для всех значений х
выполняется неравенство 0 f ( x ) g ( x ),
тогда:
a ) Если сходится g ( x)dx, то сходится f ( x)dx,
a
a
a
a
b) Если расходится f ( x)dx, то расходится g ( x)dx.
102.
Задачаdx
Пример. Найти
2
x
1
Решение:
b
dx
1
2
x dx lim
1 x 2 blim
b
x 1
1
b
1
lim
1 1
b
b
103.
Задача1
dx
Пример. Найти
2
x
0
Решение: Исходный интеграл несобственный
второго рода, т.к. функция терпит разрыв в
точке 0.
1
dx
1
2
x dx lim
0 x 2 alim
0 0
a 0 0
x a
a
1
1
1
lim 1
a 0 0
a
Интеграл расходится.
104.
Интегрированиеy
1
0
x
105.
ЗадачаПример. Сходится или расходится
dx
1 x 3 5x 20
(первообразную найти невозможно)
106.
ЗадачаРешение: Пусть
1
1
f ( x) 3
, g ( x) 2 .
x 5 x 20
x
Обе функции являются бесконечно малыми
при х стремящемся к плюс бесконечности.
Сравним их при помощи признака сравнения:
2
f ( x)
x
lim
lim 3
0
x g ( x )
x x 5 x 20
f ( x) g ( x).
107.
ЗадачаНо, пользуясь ответом одной из
предыдущих задач, имеем
dx
1 g ( x)dx 1 x 2 - сходится.
Следовательно, исходный интеграл тоже
сходится по признаку сравнения.
108.
Финансовый университетпри Правительстве Российской Федерации
Конец темы