Электродинамические потенциалы ЭМП. Лекция 4

1. Модуль 2. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭМВ В СВОБОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО Лекция №4. Электродинамические потенциалы ЭМП

1.
2.
3.
4.
Возбуждение ЭМП заданными источниками. Неоднородные
уравнения Максвелла в комплексной форме.
Векторный и скалярный потенциалы для мгновенных значений
поля.
Векторный и скалярный потенциалы для комплексных
амплитуд. Уравнения Гельмгольца относительно векторных
потенциалов.
Решение неоднородных уравнений Гельмгольца. Теорема
запаздывающих потенциалов.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.
1

2. 1 Волновые уравнения произвольной электромагнитной системы источников. Уравнения Гельмгольца

Физическая трактовка 1 и 2 уравнений Максвелла : изменение во
времени электрического поля приводит к изменению магнитного
поля и наоборот.
Волновой процесс – колебательное движение непрерывной среды.
Решение уравнений Максвелла – две волновые функции (волны):
расходящаяся и сходящаяся волны.
Волнами переносится ЭМ энергия из объема, где действуют
переменные сторонние токи, в окружающее этот объем
пространство, где этих токов нет.
Процесс распространения в пространстве электромагнитных волн с
конечной скоростью и утративших связь со своими источниками
(переменными зарядами и токами), называется излучением
электромагнитных волн.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.
2

3.

Решение задачи об излучении заключается в определении в любой
точке пространства структуры ЭМП, возбуждаемого сторонними
токами.
С математической точки зрения задачи о возбуждении ЭМВ
заданными источниками сводятся к решению системы
неоднородных уравнений Максвелла:
Для произвольных сигналов
Для гармонических сигналов
э. ст.
E
rot H E a
j
t
м. ст.
H
rot E a
j
t
rot H i a E j
ст.э
rot E i a H j
a div E э.ст
a div E э.ст
a div H
a div H м.ст
м.ст
ст. м
Для получения единственного решения системы должны быть
дополнены 1) граничными условиями; 2) условиями излучения.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.
3

4.

2 Векторный и скалярный потенциалы
для мгновенных значений поля
Решение неоднородных уравнений является неточным, т.к.
сторонние источники известны приближенно: данные берутся
из опытов или предположений.
Выход из положения – введение электродинамических
э
потенциалов: векторного ( A , Aм ) и скалярного ( u э , u м ).
Для каждого типа источника выбирается один вид потенциалов.
Вводятся с помощью 4 уравнения Максвелла и закона непрерывного
тока:
э
э
a H rot A
э
A
rot E
t
0
E grad u э
A
t
Знак «минус» перед grad u э введен для совпадения в случае
электростатического поля функция с обычным выражением для
электростатического потенциала.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.
4

5.

Подстановка выражений для потенциалов в 1 уравнение Максвелла
и учет материальных уравнений позволяет записать:
э
1
( 0 ) rot rot A j
э ст
э
э
2 э
u
A
A
э
0 grad
grad
u
t
t
t2
Введение потенциалов было произвольным. Для устранения
неоднозначности вводится условие калибровки. Классическое
условие – калибровка Лоренца:
э
div A
u э
c2 t
uэ 0
С учетом калибровки
волновые
уравнения принимают вид:
э
э
э
A
2
2 A
c
2
t
2
э ст
A
0 j
t
2u э
2u э
c2 t 2
э
A
э ст
t
0
Достоинство: в правые части входят сторонние источники
тока, а не их производные.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.
5

6.

Введение электродинамических потенциалов электрического типа:
E
1
0
rot A
м
Условие калибровки:
м
м
A
H grad u 0
A
t
м
u м
div A 0
0
t
м
Получаемые волновые уравнения:
м
м
м
A
A
2
A 0 0
0
j
2
t
t
м
2
2u м
u м
м
u
2
t
t
0
2
м
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.
6

7.

3 Векторный и скалярный потенциалы
для комплексных амплитуд. Уравнения
Гельмгольца относительно векторных
потенциалов
Введение потенциалов для гармонических сигналов
Электрического типа
Магнитного типа
H m (r )
E m (r )
1
rot
0
э
Am ( r )
E m (r )
grad umэ (r ) i 0
э
Am ( r )
1
0
м
rot Am (r )
м
H m (r ) grad umм (r ) ~a Am (r )
Волновые уравнения (неоднородные уравнения Гельмгольца):
2
э
A m (r )
2 u mэ (r )
2
2
э
A m (r )
u mэ (r )
j
э ст
э.ст
0
2
м
A m (r )
u mм (r )
2
2
м
A m (r )
2
u mм (r )
м ст
jm
mм.сс
0
7
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.

8.

ik ~a ~a k ik
k
k
- коэффициент распространения;
- коэффициент затухания;
- коэффициент фазы.
Уравнения связи:
э
э
м
1
grad
div
A
rot
A
i ~a
э
м
м
1
~
H rot A i a A
grad div A
i a
E i a A
~a 0 i э / - комплексная диэлектрическая проницаемость
(для реальных сред с потерями)
Достоинство: 1) в правые части входят сторонние источники
тока, а не их производные;
2) число неизвестных сокращается с 6 до 4.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.
8

9.

4 Решение неоднородных уравнений
Гельмгольца. Теорема запаздывающих
потенциалов
Решение рассмотрим на примере источников электрического типа –
потенциалы электрические.
Допущения: 1) среда изотропная;
2) волновое число
определяется выражением
~
k k ik
Вид волновых уравнений:
2
э
~
Am ( r ) k 2
~2
2 э
um (r ) k
Рисунок 1 – Геометрия задачи
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.
э
Am ( r )
umэ (r )
J
э ст
э.ст
0
9

10.

Последовательность решения:
1. Предположим, что
- сторонний электрический ток занимает весьма малую область
V 0 вблизи начала координат;
- остальное пространство удовлетворяет однородным волновым
уравнениям;
- решение симметрично в сферической системе координат (не
зависит от углов q, j).
B
~
э
u
(
r
)
exp(
i
k
r)
2. С учетом предположений решение имеет вид: m
r
3. Нахождение коэффициента В, описывающего интенсивность
источника. 1) Понижаем частоту излучения ( k~ a a 0 ). В
пределе получаем поле электростатического заряда:
mэ.ст V
B
4 a
2) Возвращаемся к произвольной частоте и произвольному объему:
~
mэ.ст exp( ik r )
э
u m (r )
dv
4
r
a
V
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.
10

11.

Последовательность решения:
4. Представляем векторное уравнение тремя скалярными
проекциями и используем замены типа:
э.ст
mэ.ст
~
a J m, x , y , z
~
a
umэ Amэ , x , y , z
5. Решение после преобразований принимает вид интеграла
Кирхгофа для запаздывающих потенциалов:
э
Am (r )
~
~a э.ст exp( ik r )
jm (r ')
dv
4 V
r
Векторный потенциал называется запаздывающим.
Экспоненциальный множитель соответствует конечной скорости
распространения волны до источника со скоростью v / .
Время запаздывания воздействия
r k r
tз
v
11
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.

12.

Теорема запаздывающих потенциалов:
Векторный потенциал в точке с радиус-вектором r в момент
времени t является функцией токов в точке расположения
источников, существовавших в более ранний момент времени.
Токи и заряды меняются по гармоническому закону. В связи с этим
экспоненциальный множитель в среде без потерь имеет вид:
exp[i (t r / v)] exp(i t ) exp( i r / v) exp(i t ) exp( ik r )
Вывод: применительно к гармоническим процессам запаздывание
r k r
на время tз
v
учитывается множителем exp( ik r ) и
означает сдвиг по фазе на величину r / v .
12
Электромагнитные поля и волны. Лекция 4.