Векторы и операции над ними

1.

2.

Справочный материал
Координаты вектора
А х1; у1
В х2 ; у2
у2
АВ х2 х1; у2 у1
А
а а1; а2
а а а
2
1
В
2
2
х1
у1
х2

3.

Справочный материал
Сложение векторов
а а1; а2
b b1; b2
а b а1 b1; а2 b2
Свойства :
Сумма векторов – вектор.
1) а 0 а
2) а b b а
3) а b c а b c

4.

Справочный материал
Вычитание векторов
а а1; а2 b b1; b2
а b а1 b1; а2 b2
а b a b
Разность векторов – вектор.

5.

Справочный материал
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов – число.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
а а1; а2 b b1; b2
a b = a b cos(a b )
Для вычисления скалярного произведения
векторов существуют разные формулы.
Формула вычисления скалярного
произведения векторов через координаты
векторов не содержит косинуса угла.

6.

Справочный материал
b
a
a b = 900
a
0
a b = a b cos 900 = 0
b
Если векторы
и
перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
Обратно: если
a b = 0 , то векторы a и b перпендикулярны.
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю
тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
a b =0
a ^b

7.

Справочный материал
a b < 900
>0
a b = a b cos a > 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда угол между
векторами острый.
a b > 0 a b < 900

8.

Справочный материал
a b > 900
<0
a b = a b cos a < 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол между
векторами тупой.
a b < 0 a b > 900

9.

Справочный материал
Если
b
a
b
a b = 00
1
a b = a b cos 00 = a b
a
b
a
Если
a
b
a b = 1800
-1
a b = a b cos1800 = – a b

10.

Справочный материал
a
a a = 00
1
a a = a a cos 00 = a a = a 2
a a называется
скалярным квадратом вектора a и обозначается a 2
Скалярное произведение
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a2 = a 2

11.

№ 22
Вектор
с концом в точке B(5; 3) имеет координаты (3; 1).
Найдите абсциссу точки А.
Решение:
А х1; у1
В х2 ; у2 АВ х2 х1; у2 у1
А(х; у); В(5; 3);
5 – х = 3;
x = 2.
2
2
3
10 х
х

12.

№ 23
Вектор
с концом в точке B(5; 3) имеет координаты (3; 1).
Найдите ординату точки А.
Решение:
А х1; у1
В х2 ; у2 АВ х2 х1; у2 у1
А(х; у); В(5; 3);
3 – у = 1;
у = 2.
2
2
3
10 х
х

13.

№ 24
Вектор
с концом в точке B(5; 4) имеет координаты (3; 1).
Найдите сумму координат точки А.
Решение:
А х1; у1
В х2 ; у2 АВ х2 х1; у2 у1
А(х; у); В(5; 4);
5 – х = 3;
х = 2;
4 – у = 1;
у = 3;
x+y=
2
5
3
10 х
х

14.

№ 25
Найдите сумму координат вектора
.
Решение:
(2 – 0; 6 – 0);
(2; 6);
(8 – 0; 4 – 0);
(8; 4);
= (2 + 8; 6 + 4) = (10; 10);
x+y=
2
2 0
3
10 х
х

15.

№ 26
Найдите квадрат длины вектора
.
Решение:
(2 – 0; 6 – 0);
(2; 6);
(8 – 0; 4 – 0);
(8; 4);
= (2 + 8; 6 + 4) = (10; 10);
2
2 0 0
3
10 х
х

16.

№ 27
Найдите сумму координат вектора
.
Решение:
(2 – 0; 6 – 0);
(2; 6);
(8 – 0; 4 – 0);
(8; 4);
= (2 – 8; 6 – 4) = (– 6; 2);
x+y=
2
- 4
3
10 х
х

17.

№ 28
Найдите квадрат длины вектора
.
Решение:
(2 – 0; 6 – 0);
(2; 6);
(8 – 0; 4 – 0);
(8; 4);
= (2 – 8; 6 – 4) = (– 6; 2);
2
4 0
3
10 х
х

18.

№ 29
Найдите скалярное произведение векторов
и
Решение:
(2 – 0; 6 – 0);
(2; 6);
(8 – 0; 4 – 0);
(8; 4);
a b = 2 · 8 + 6 · 4 =
2
4 0
3
10 х
х

19.

№ 30
Решение:
Найдите угол между векторами
и
. Ответ дайте в градусах.
a b = a b cosα
(2 – 0; 6 – 0);
(2; 6);
(8 – 0; 4 – 0); (8; 4);
a b = 2 · 8 + 6 · 4 = 40;
α
α = 45º
cosα =
2
2
2
4 5
3
10 х
х

20.

№ 31
Найдите сумму координат вектора
Решение:
(4 – 2; 10 – 4);
(2; 6);
(10 – 2; 6 – 2);
(8; 4);
= (2 + 8; 6 + 4) = (10; 10);
x+y=
2
2 0
3
10 х
х

21.

№ 32
Найдите квадрат длины вектора
Решение:
(4 – 2; 10 – 4);
(2; 6);
(10 – 2; 6 – 2);
(8; 4);
= (2 + 8; 6 + 4) = (10; 10);
2
2 0 0
3
10 х
х

22.

№ 33
Найдите сумму координат вектора
.
Решение:
(4 – 2; 10 – 4);
(2; 6);
(10 – 2; 6 – 2);
(8; 4);
= (2 – 8; 6 – 4) = (– 6; 2);
x+y=
2
- 4
3
10 х
х

23.

№ 34
Найдите квадрат длины вектора
.
Решение:
(4 – 2; 10 – 4);
(2; 6);
(10 – 2; 6 – 2);
(8; 4);
= (2 – 8; 6 – 4) = (– 6; 2);
2
4 0
3
10 х
х

24.

№ 35
Найдите скалярное произведение векторов
и
Решение:
(4 – 2; 10 – 4);
(2; 6);
(10 – 2; 6 – 2);
(8; 4);
a b = 2 · 8 + 6 · 4 =
2
4 0
3
10 х
х

25.

№ 36
Решение:
Найдите угол между векторами
и
. Ответ дайте в градусах.
a b = a b cosα
(4 – 2; 10 – 4);
(2; 6);
(10 – 2; 6 – 2);
(8; 4);
a b = 2 · 8 + 6 · 4 = 40;
cosα =
2
2
α = 45º
2
4 5
3
10 х
х

26.

№ 37
Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого
имеют координаты (2; 1), (2; 4), (6; 1), (6; 4).
Решение:
a = 6 – 2 = 4;
(2; 4)
b = 4 – 1 = 3;
d=
(6; 4)
?
b
a
(6; 1)
(2; 1)
2
5
3
10 х
х

27.

№ 38
На координатной плоскости изображены векторы
. Вектор
разложен по двум неколлинеарным векторам
и :
, где k и l — коэффициенты разложения. Найдите k.
Решение:
= (1; 3);
= (2; 1); = (5; 0);
= k · (1; 3)+l · (2;1) =
= (k; 3k)+ (2l; l) =(k+2l);(3k+l).
k+2l=5,
3k+l=0; | ·(-2)
k+2l=5,
-6k-2l=0;
-5k=5,
k=
5
4
2
2
2 3 4
6
- 1
3
10 х
8
х

28.

№ 39
На координатной плоскости изображены векторы
скалярное произведение
и
. Найдите
Решение:
8
= (4; 6); = (6; -2);
= 4 · 6 + 6 · (- 2) =
5
3
2
5
2
1 2
11
3
10 х
х

29.

№ 40
Даны векторы
вектора
Найдите длину
Решение:
= (1 + 3 + 4; 2 – 6 – 2) = (8; – 6);
2
1 0
3
10 х
х

30.

№ 41
Даны векторы
значение выражения
Найдите
Решение:
= (4; – 4);
= 4 · 4 – 4 · (-3) = 16 +12 =
2
2 8
3
10 х
х

31.

№ 42
На координатной плоскости изображены векторы
Найдите длину вектора
.
.
Решение:
= (4; 6);
= (6; -2); = (1; -4);
9
8
= (11; 0);
5
4
2
9
5
2
1 1
3
10 х
х
11

32.

№ 43
Даны векторы
произведение
Найдите скалярное
Решение:
a b = 3 · 0 + (-2) · 1 =
2
- 2
3
10 х
х

33.

№ 44
Длины векторов
и
равны
и 5, а угол между ними равен
150°. Найдите скалярное произведение
Решение:
a b = a b cosα
2
- 1 5
3
10 х
х

34.

№ 45
Решение:
Даны векторы
между ними.
Найдите косинус угла
a b = a b cosα
a b = 3 · (-4) + 4· (-3) = -24
5
5
cosα =
2
х
- 0 , 9 6
3
10 х

35.

№ 46
Решение:
Длина вектора
равна
угол между векторами и равен 45°, а
скалярное
произведение равно 12. Найдите длину вектора
?
a b = a b cosα
2
6
3
10 х
х