Векторы и операции над ними

1.

Составила учитель математики
Гринюк Любовь Викторовна
МАОУ Ильинская СОШ
г. Домодедово
Московской области

2.

Справочный материал
Координаты вектора
А х1; у1
В х2 ; у2
у2
АВ х2 х1; у2 у1
А
а а1; а2
а а а
2
1
В
2
2
х1
у1
х2

3.

Справочный материал
Сложение векторов
а а1; а2
b b1; b2
а b а1 b1; а2 b2
Свойства :
Сумма векторов – вектор.
1) а 0 а
2) а b b а
3) а b c а b c

4.

Справочный материал
Вычитание векторов
а а1; а2 b b1; b2
а b а1 b1; а2 b2
а b a b
Разность векторов – вектор.

5.

Справочный материал
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов – число.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
а а1; а2 b b1; b2
a b = a b cos(a b )
Для вычисления скалярного произведения
векторов существуют разные формулы.
Формула вычисления скалярного
произведения векторов через координаты
векторов не содержит косинуса угла.

6.

Справочный материал
b
a
a b = 900
a
0
a b = a b cos 900 = 0
b
Если векторы
и
перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
Обратно: если
a b = 0 , то векторы a и b перпендикулярны.
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю
тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
a b =0
a ^b

7.

Справочный материал
a b < 900
>0
a b = a b cos a > 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда угол между
векторами острый.
a b > 0 a b < 900

8.

Справочный материал
a b > 900
<0
a b = a b cos a < 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол между
векторами тупой.
a b < 0 a b > 900

9.

Справочный материал
Если
b
a
b
a b = 00
1
a b = a b cos 00 = a b
a
b
a
Если
a
b
a b = 1800
-1
a b = a b cos1800 = – a b

10.

Справочный материал
a
a a = 00
1
a a = a a cos 00 = a a = a 2
a a называется
скалярным квадратом вектора a и обозначается a 2
Скалярное произведение
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a2 = a 2

11.

№1
Найдите длину вектора а (6; 8).
⃗
Решение:
а а а
2
1
2
2
2
1 0
3
10 х
х

12.

№2
Решение:
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину
вектора АС
⃗
2
1 0
3
10 х
х

13.

№3
Решение:
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину
суммы векторов АВ и АD
⃗
⃗
2
1 0
3
10 х
х

14.

№4
Решение:
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину
разности векторов АВ и АD
⃗
⃗
2
1 0
3
10 х
х

15.

№5
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите
скалярное произведение векторов
Решение:
∟
2
0
3
10 х
х

16.

№6
Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника ABCD
равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину
суммы векторов
Решение:
2
6
3
10 х
х

17.

№7
Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника ABCD
равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину
разности векторов
Решение:
2
8
3
10 х
х

18.

№8
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора
Решение:
6
8
10
2
1 0
3
10 х
х

19.

№9
Диагонали изображенного на рисунке ромба ABCD равны 12 и 16.
Найдите длину вектора
Решение:
2
1 6
3
10 х
х

20.

№ 10
Диагонали изображенного на рисунке ромба ABCD равны 12 и 16.
Найдите длину вектора
Решение:
2
1 2
3
10 х
х

21.

№ 11
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора
Решение:
8
10
6
2
1 0
3
10 х
х

22.

№ 12
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16.
Найдите длину вектора
Решение:
6
10
8
2
1 0
3
10 х
х

23.

№ 13
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16.
Найдите длину вектора
Решение:
6
8
10
2
1 0
3
10 х
х

24.

№ 14
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16.
Найдите скалярное произведение векторов
Решение:
^
a
b
Если векторы
и
перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
2
0
3
10 х
х

25.

№ 15
Стороны правильного треугольника ABC равны
длину вектора
.
. Найдите
Решение:
D
O
3;
60º
AD = 2AO =
2
6
3
10 х
х

26.

№ 16
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину
вектора
.
Решение:
3
3
2
3
3
10 х
х

27.

№ 17
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите
скалярное произведение векторов
.
Решение:
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
a b = a b cos(a b )
3
60º
3
3 · 3 · 0,5 =
2
4 , 5
3
10 х
х

28.

№ 18
Найдите сумму координат вектора
Решение:
x+y?
x = 8 – 2 = 6;
y = 6 – 4 = 2;
x+y=
2
8
3
10 х
х

29.

№ 19
Вектор
с началом в точке A(2; 4) имеет координаты (6; 2).
Найдите абсциссу точки B.
Решение:
B(x ; y);
x – 2 = 6;
x=
2
8
3
10 х
х

30.

№ 20
Вектор
с началом в точке A(2; 4) имеет координаты (6; 2).
Найдите ординату точки B.
Решение:
B(x ; y);
y – 4 = 2;
x=
2
6
3
10 х
х

31.

№ 21
Вектор
с началом в точке A(3; 6) имеет координаты (9; 3).
Найдите сумму координат точки B.
Решение:
А х1; у1
В х2 ; у2 АВ х2 х1; у2 у1
А(3; 6);
В(х; у);
x – 3 = 9;
y – 6 = 3;
x = 12;
y = 9;
x+y=
2
2 1
3
10 х
х