Лекция № 8_2022-2023 АР

1. Лекция № 8

Динамика жидкости и газа.
Идеальная жидкость. Уравнение
Эйлера. Интеграл Бернулли.
1

2. Режа:

• Идеальная жидкость.
• Уравнения Эйлера.
• Интеграл Бернулли
2

3.

Задача динамики жидкости и газа – это установление
зависимостей между кинематическими и динамическими
характеристиками течений, что необходимо, прежде
всего, для изучения силового взаимодействия между
жидкой или газообразной средой и движущимися в них
твердыми
телами,
которое
проявляется
в
соответствующем
распределении
по
обтекаемой
поверхности касательных и нормальных напряжений.
Для установления связей между кинематическими и
динамическими характеристиками потока жидкости (газа),
обтекающего твердое тело, составляются уравнения
движения жидкости, которые имеют тот или иной вид в
зависимости от типа жидкости и вида течения.
По своей природе жидкость и газ являются вязкой
средой и при обтекании тел вязкость способствует
образованию касательных напряжений, определяющих
силу трения на поверхности обтекаемого тела.
3

4.

Уравнения Эйлера.
Наибольшее распространение и применение в
аэродинамике
получили
уравнения
Эйлера,
описывающие движение идеальной жидкости, в
которой отсутствует вязкость, а следовательно
касательные
напряжения.
В
этом
случае
учитываются только нормальные напряжения,
определяющие поверхностные
силы давления, действующие на
поверхность S, ограничивающую
объем ω.
Рис. 8.1. К выводу уравнения
движения идеальной жидкости
4

5.

В векторной форме
они имеют вид
1
dV
F gradP
dt
где F – массовая сила, действующая на единицу массы жидкости в
выбранной точке объема жидкости ω (рис. 8.1);
ρ – плотность жидкости (газа);
V – скорость потока жидкости, протекающего через поверхность S,
ограничивающую объем ω;
gradP
P P P
i
j
k – градиент силы давления P.
x
y
z
В скалярной форме уравнения Эйлера имеют вид:
dVx Vx
V
V
Vx
1 P dVx
, где
Vx x V y x Vz
x
dt
dt
t
x
y
z
dV y V y
V y
V y
V y
1 P dV y
Y
, где
Vx
Vy
Vz
y
dt
dt
t
x
y
z
1 P dVz
dVz Vz
V
V
V
Z
, где
Vx z V y z Vz z
z
dt
dt
t
x
y
z
X
Неизвестными в этих уравнениях являются составляющие
скорости Vx, Vy, Vz, давление P и плотность ρ.
5

6.

Имеются три уравнения и пять неизвестных. Поэтому
необходимо составить систему уравнений, прибавив к
уравнениям Эйлера уравнение неразрывности, уравнение
состояния и для определения температуры T уравнение
переноса энергии.
Для частного случая, когда жидкость баротропная P=f(ρ)
достаточно рассмотреть уравнения Эйлера неразрывности и
состояния.
1
dV
F gradP
dt
div( V ) 0
t
P R T
Для несжимаемой жидкости (ρ=const) будем иметь:
1
dV
F gradP
dt
divV 0
P R T
Уравнения Эйлера нелинейные. Они решены только для частных случаев, в
результате чего получен интеграл Бернулли, играющий большую роль в
аэрогидромеханике.
6

7.

Интеграл Бернулли
Уравнение Эйлера для газа принимает иной вид, чем для
жидкости, т. к. массовые силы, действующие в объеме газа,
значительно меньше массовых сил, действующих в том же
объеме жидкости. Поэтому в аэродинамике массовыми
силами пренебрегают ( F 0 ) и уравнения Эйлера принимают
в векторной форме вид:
1
dV
gradP
dt
или в скалярной форме
dVx
1 P
dt
x
1 P
dt
y
dVy
dVz
1 P
dt
z
7

8.

Решая эти уравнения для установившегося движения
частиц жидкости вдоль линии тока получают выражение:
V 2 dP
d
0
2
которое после интегрирования имеет вид
V2
2 const
dP
Это уравнение получило название интеграла Бернулли.
Для несжимаемой жидкости (ρ=const) интеграл равен
V 2
P
2
const
где он имеет размерность давления.
P – статическое давление в струйке.
q
V 2
2
– динамическое давление (скоростной напор).
8

9.

Рассмотрим обтекание тела потоком газа.
Рис. 8.2. Обтекание тел потоком воздуха
Центральная струйка потока в передней части обтекаемого тела
разветвляется, но в точке A тела затормаживается так, что скорость VA=0. Эта
точка получила название критической (сеч. II-II рис. 8.2), т. к. вследствие
торможения потока (VA=0).
Сумма статического давления P
давление P0, равное
P0 P
2
V
и динамического
дает полное
2
V 2
2
где P , V – давление и скорость невозмущенного потока (сеч. I-I рис. 8.2).
9

10.

Для сжимаемого газа, отвечающего условию баротропности ρ=f(P),
интеграл Бернулли имеет вид:
k P V2
k 1
2
const
Приняв P RT уравнение переписывается в виде
V2
RT
2 k 1
P
Введя весовую плотность γ=ρg, получаем уравнение Бернулли в
окончательном виде для сжимаемого газа:
V2
RT
const
2 g ( k 1 )g
P
k – коэффициент адиабаты k
Cp
Cv
,
где Cp – коэффициент удельной теплоемкости при постоянном давлении;
Cv – коэффициент удельной теплоемкости при постоянном объеме v;
P
– статический (пьезометрический) напор;
V2
2g
– динамический (скоростной) напор;
RT
– тепловой напор.
( k 1 )g
10

11.

Вопросы для самопроверки:
• Что такое идеальная жидкость?
• Запишите уравнение Эйлера.
• Запишите уравнение интеграл Бернулли для несжимаемой
жидкости.
• Запишите уравнение интеграл Бернулли для сжимаемого
газа.
11