Методы решения задач

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

§ 1 Метод опорных задач
§ 2 Алгебраический метод
§ 3 Метод площадей
§ 4 Метод вспомогательных окружностей
§ 5 Координатно-векторный метод
§ 6 Геометрический (на достраивание)
1

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ § 1 Метод опорных задач

Задача 1.1.
В треугольнике ABC: BC = a, AC = b, AB = c.
Найти:
1) углы треугольника
2) медианы треугольника
3) биссектрисы треугольника
4) высоты треугольника
5) радиусы описанной и вписанной окружностей
2

3. § 1 Метод опорных задач

Задача 1.1.
В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c.
Найти:1) углы треугольника
Решение: По заданным сторонам,
используя теорему косинусов,
находим углы:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
c
b
b c a
a
b
c
cos
cos
cos
2ac
2ab
2bc
b c a
arccos
2bc
2
2
2
a c b
arccos
2ac
2
2
2
a b c
arccos
2ab
2
2
3
2

4. § 1 Метод опорных задач

Задача 1.1.
В треугольнике ABC:
BC = a, AC = b, AB = c.
Найти:
2) медианы треугольника
Решение: Найдем медиану BM (mb).
По теореме косинусов
для треугольника ABM:
b
b b c a
BM AB AM 2 AB AM cos c 2c
4
2
2bc
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
b
c
a
2
a
2
c
b
c2
4
2
4
4

5. § 1 Метод опорных задач

Задача 1.1.
В треугольнике ABC: BC = a, AC = b, AB = c.
Найти:
2) медианы треугольника
Решение:
1
2
2
2
mb
2a 2c b
2
1
2
2
2
ma AK
2b 2c a
2
1
2
2
2
mc CT
2a 2b c
2
5

6. § 1 Метод опорных задач

Задача 1.1.
В треугольнике ABC: BC = a, AC = b, AB = c.
Найти:
3) биссектрисы треугольника
Решение: Найдем биссектрису BB1
В треугольнике ABB1 известны сторона AB = c
и углы
A ABB1
По теореме синусов,
2
AB
BB1
sin AB1B sin A
AB sin
c sin
lb BB1
sin 180 sin
2
2
6

7. § 1 Метод опорных задач

Задача 1.1.
В треугольнике ABC: BC = a, AC = b, AB = c.
Найти:
3) биссектрисы треугольника
Решение:
AB sin
c sin
lb BB1
sin 180 sin
2
b sin
la AA1
sin
2
2
a sin
lc CC1
sin
2
7

8. § 1 Метод опорных задач

Задача 1.1.
В треугольнике ABC: BC = a, AC = b, AB = c.
Найти:
4) высоты треугольника
Решение: Найдем высоту BB2
треугольника ABC.
В треугольнике ABB2 известны
гипотенуза AB = c и острый угол α.
b c a
hb BB2 c sin c 1 cos c 1
2bc
2
2
2
2
2
8

9. § 1 Метод опорных задач

Задача 1.1.
В треугольнике ABC: BC = a, AC = b, AB = c.
Найти:
4) высоты треугольника
Решение:
2
2
2 2
b c a
hb BB2 c sin c 1 cos c 1
2bc
2
a c b
ha AA2 c sin c 1
2ac
2
2
2
b c a
hc CC2 b sin b 1
2bc
2
2
2
2
2
9

10. § 1 Метод опорных задач

Задача 1.1.
В треугольнике ABC: BC = a, AC = b, AB = c.
Найти:
5) Радиус описанной окружности
Решение: Радиус R описанной окружности можно определить,
используя теорему синусов:
a
b
c
R
2sin 2sin 2sin
R
a
b c a
2 1
2
bc
2
2
2
2
10

11. Метод опорных задач

Задача 1.1.
В треугольнике ABC: BC = a, AC = b, AB = c.
Найти:
5) Радиус вписанной
окружности
Решение: В треугольнике АОС:
АС=b