https___school.mos.ru_ej_attachments_files_220_448_800_original_php85DeF3_grafiki-kusochno-linejnyh-funkcij

1. Графики кусочно – заданных функций

Мурзалиева Т.А. учитель математики
МБОУ «Борская средняя
общеобразовательная школа»
Бокситогорский район
Ленинградская область

2.

Цель:
1)освоить метод линейного сплайна
для построения графиков,
содержащих модуль;
2)научиться применять его в
простых ситуациях.

3. Что такое сплайн?

Под сплайном (от англ. spline — планка, рейка)
обычно понимают кусочно-заданную функцию.
Такие функции были известны математикам давно,
начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский,
немецкий и российский математик), но их
интенсивное изучение началось, фактически, только в
середине XX века.
В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г.,
румынский и американский математик) впервые
употребил этот термин. С 1960 года с развитием
вычислительной техники началось использование
сплайнов в компьютерной графике и моделировании.

4.

1. Введение
2. Определение линейного сплайна
3. Определение модуля
4. Построение графиков
5. Практическая работа

5.

Графики функций широко
используются в различных
областях инженерных знаний,
поэтому умение строить, “читать”,
прогнозировать их “поведение”
имеют огромную роль в
практической деятельности
инженерных работников,
метеорологов и людей других
“математических” специальностей

6.

Одно из основных назначений функций
– описание реальных процессов,
происходящих в природе.
Но издавна ученые – философы и
естествоиспытатели выделяли два типа
протекания процессов: постепенное
(непрерывное) и скачкообразное.

7.

При падении тела на землю сначала
происходит непрерывное нарастание
скорости движения, а в момент
столкновения с поверхностью земли
скорость изменяется скачкообразно,
становясь равной нулю или меняя
направление (знак) при «отскоке» тела
от земли (например, если тело – мяч).
Но раз есть разрывные
процессы, то
необходимы средства их
описаний. С этой целью
вводятся в действие
функции, имеющие
разрывы.

8.

1.Один из способов введения таких разрывов
следующий:
Пусть функция y = f(x)
при x<a определена формулой y = g(x),
а при x>a - формулой y = h(x), причем будем
считать, что каждая из функций g(x) и h(x)
определена для всех значений х и разрывов
не имеет.
Тогда, если g(a) = h(a), то функция f(x)
имеет при х=а скачок;
если же g(a) = h(a) = f(a), то
«комбинированная» функция f разрывов не
имеет. Если обе функции g и h
элементарные, то f называется кусочно–
элементарной.

9. Графики разрывных функций

10.

Графики непрерывных функций
y=cos x

11.

Построить график функции:
У=2-х
У= х
1
0
У = |X-1| + 1
1
Х=1 –точка смены формул

12.

Слово «модуль» произошло от латинского слова
«modulus», что в переводе означает «мера».
Модулем числа а называется расстояние (в
единичных отрезках) от начала координат до
точки А (а).
А
0
а
х
Это определение раскрывает геометрический
смысл модуля.
Модулем (абсолютной величиной)
действительного числа а называется то самое
число а ≥ 0, и противоположное число –а, если
а<0.

13.

у
У=-3х-2
х
-1
-2
у
1
4
У=3х-2
1
0
х
0
у
-2 1
х
1
-2
Построить график функции у = 3|х|-2.
По определению модуля, имеем:
3х – 2 при х>0 или х=0
у=
-3х -2 при х<0
1

14.

. Пусть заданы х1< х2 < … < хn – точки смены
формул в кусочно-элементарных функциях.
Функция f, определенная при всех х,
называется кусочно-линейной, если она
линейна на каждом интервале
; х1 , х1; х2 ,..., хп 1; хп , хп ;
и к тому же выполнены условия согласования,
то есть в точках смены формул функция не
терпит разрыв.
Непрерывная кусочно-линейная
функция называется линейным сплайном.
Её график есть ломаная с двумя бесконечными
крайними звеньями – левым (отвечающим
значениям x < xn) и правым (отвечающим
значениям x >xn)

15.

Кусочно-элементарная функция может быть определена
более чем двумя формулами
1прих 0
2 x 1при 0 x 1,
У=
1приx 1
у
1
0
-1
У=|x| - |x – 1|
1
х
График – ломаная с двумя
бесконечными крайними звеньями –
левым (х<0) и правым (x>1).
Точки смены формул: х=0 и х=1.
У(0)=-1, у(1)=1.

16.

График кусочно-линейной функции удобно
строить, указывая на координатной
плоскости вершины ломаной.
Кроме построения n вершин следует построить
также две точки: одну левее вершины
A1 (x1; y (x1)), другую – правее вершины
An (xn; y (xn)).
Заметим, что разрывную кусочно-линейную
функцию нельзя представить в виде линейной
комбинации модулей двучленов.

17.

Построить график функции у = х+ |x -2| - |X|.
Непрерывная кусочно-линейная функция
называется линейным сплайном
у
1.Точки смены формул: Х-2=0, Х=2; Х=0
2
2.Составим таблицу:
х -1
у 1
0
2
2
0
3
1
У(0)= 0+|0-2|-|0|=0+2-0=2;
у(2)=2+|2-2|-|2|=2+0-2=0;
у(-1)= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1=1;
у(3)=3+|3-2| - |3|=3+1-3=1.
0
2
х

18.

Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|.
у
1.Точки смены формул:
х+1=0, х=-1;
х=0; х-2=0, х=2.
2. Составим таблицу:
x -2 -1 0 2 3
у -1 -2 -1 5 6
y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;
y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;
y(0)=1+0-2=-1;
y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;
y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.
1
-1 0
1 2
x

19.

Решите уравнение:
|x – 1| = |x + 3|
Решение. Рассмотрим функцию y = |x -1| - |x +3|
Построим график функции /методом линейного сплайна/
1. Точки смены формул:
y
х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = - 3.
2. Составим таблицу:
х
-4
-3
1
2
у
4
4
-4
-4
1
0
1
y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;
y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;
y(1)=|1-1| - |1+3| = - 4;
y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.
y(-1) = 0.
Ответ: -1.
x

20.

21.

1. Построить графики кусочно-линейных функций
методом линейного сплайна:
у = |x – 3| + |x|;
1). Точки смены формул:
у
2). Составим таблицу:
х
у
у(
у(
у(
У(
1
)=
)=
)=
)=
х

22.

2. Построить графики функций,
используя УМК «Живая математика»
А) у = |2x – 4| + |x +1|
1) Точки смены формул:
2) y( ) =
y( ) =
y( ) =
у( ) =
Б) Постройте графики функций,
установите закономерность:
a) у = |х – 4|
y = |x + 3|
y = |x – 3|
y = |x + 4|
б) y = |x| +1
y = |x| - 3
y = |x| - 5
y = |x| + 4
х
у
Используйте инструменты «Точка»,
«Отрезок», «Стрелка» на панели
инструментов.
1. Меню «Графики».
2. Вкладка
«Построить график».
.3. В окне
«Калькулятор» задать
формулу.

23.

Постройте график функции:
1) У = 2х + 4
2 х 4, еслих 1,
у 2, если 1 х 2,
x
3 , еслих 2.
2
х
у
х
3) У = 3
2
х
у
2
4

24.

1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник
элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006.
2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б.
Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл.
общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А.
Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011
3.
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С.
Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл.
общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А.
Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011
4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия
http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline