Тригонометрия-10-12

1.

9
четверти отрицателен. По второму правилу косинус нужно заменить на синус,
π
следовательно, cos + α = − sin α .
2
3. Тождественные преобразования тригонометрических выражений
Задача 1. Вычислить tg α , если sin α = −0 ,8 и π < α <
3π
.
2
Решение. cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 − (0 ,8) = 0,36 , cosα = ± 0,36 = ±0,6 . Так как
2
по условию угол α находится в III четверти, то cos α < 0 , следовательно,
cos α = −0,6 . Найдём tgα =
sin α − 0 ,8 4
=
= .
cos α − 0 ,6 3
Задача 2. Упростить выражение
sin 3α cosα + cos 3α sin α
.
2 cos 2 α − 1
Решение.
sin 3α cos α + cos 3α sin α
sin (3α + α )
=
=
2
2
2 cos α − 1
2 cos α − sin 2 α − cos 2 α
sin 4α
2 sin 2α cos 2α
=
=
= 2 sin 2α .
cos 2 α − sin 2 α
cos 2α
41π
Задача 3. Вычислить sin −
.
6
Решение
41π
5π
5π
41π
sin −
= − sin 6π +
=
= − sin
= − sin
6
6
6
6
π
π
1
= − sin π − = − sin = − .
6
6
2
Упражнения
3 3π
< α < 2π .
1. Вычислить sinα , если cos α = ,
5 2

2.

10
3 π
2. Вычислить cosα , если sin α = , < α < π .
5 2
3. Вычислить tg α , если sin α = −
3π
5
, π <α <
.
2
13
4. Вычислить ctgα , если cosα = −
3π
12
, π <α <
.
2
13
5. Вычислить sin (α + β ) , если sin α =
6. Вычислить sin 2α , если sin α =
π
π
4
5
и 0 < α < ; cos β =
и 0<β < .
2
2
5
13
3 π
, <α <π .
2 2
7. Вычислить
9π
7.1. sin −
;
4
7.4. ctg
7π
;
4
5π
;
4
7.3. tg
13π
7.5. cos −
;
6
7.2. sin
7.2. cos
11π
;
3
19π
.
4
8. Вычислить
8.1. sin 4050 − cos 3150 ;
8.3. sin
11π
5π
+ cos ;
6
3
9. Упростить выражения
9.1.
sin (− α ) + cos (π + α )
;
π
1 + 2 cos − α cos(− α )
2
π
sin + α + sin (2π + α )
2
9.2.
.
2 cos(− α )sin (− α ) + 1
8.2. cos 690 0 − sin 780 0 ;
8.4. sin
7π
7π
+ cos .
4
4

3.

11
10. Упростить выражения
10.1.
sin 2α
;
1 − cos 2 α
10.2.
sin 2α
;
1 − sin 2 α
10.3.
sin α − tgα
;
cos α − 1
10.4.
cosα − ctgα
;
sin α − 1
10.5.
2 sin 2 α − 1
;
sin 2 α − cos 2 α
10.6.
cos 2 2α
.
1 + cos 4α
11. Доказать тождества
1
2
2
11.1. 1 + ctg 2α +
⋅ sin α cos α = 1 ;
2
cos α
1
2
2
11.2. 1 + tg 2α +
⋅ sin α cos α = 1 ;
2
sin α
cos β sin β
11.3.
+
⋅ sin 2α = 2 cos(α − β ) ;
sin α cos α
cosα sin α
−
11.4.
⋅ sin 2β = −2 sin (α − β ) .
cos β sin β
12. Синус острого угла равен
15
. Найти косинус смежного с ним угла.
17
13. Косинус угла треугольника равен
9
. Найти синус угла, смежного с
41
данным, при той же вершине треугольника.
14. Доказать тождества
14.1.
1
− sin 2 α − tg 2α = cos 2 α ;
2
cos α
1 − cos 2 α
1
14.2.
+
tg
⋅
ctg
=
;
α
α
1 − sin 2 α
cos 2 α
14.3.
cos α + sin α 1 + tgα
=
;
cos α − sin α 1 − tgα
14.4.
ctgα − 1 cos α − sin α
=
.
ctgα + 1 cos α + sin α